Як знайти базис.

Спосіб докази відкривається безпосередньо з визначення базису .Любий упорядкована система n лінійно незалежних векторів простору R ^ n називається базисом цього простору.
Вам знадобиться
  • - папір;
  • - ручка.
Інструкція
1
Знайдіть який-небудь короткий ознака лінійної незавісімості.Теорема. Система з т векторів простору R ^ n є лінійно незалежної тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з координат цих векторів дорівнює т.
2
Доказ. Використовуємо визначення лінійної незалежності, яке свідчить, що утворюють систему вектори лінійно незалежні (тоді і тільки тоді), якщо рівність нулю будь-якої їх лінійної комбінації досяжною лише при рівності нулю всіх коефіцієнтів цієї комбінаціі.Далее см. Рис. 1, де все написано найбільш подробно.На рис.1 в шпальтах розташовані набори чисел xij, j = 1, 2, ..., n відповідні вектору xi, i = 1, ..., m.
3
Виконайте дії за правилами лінійних операцій в просторі R ^ n. Так як кожен вектор в R ^ n однозначно визначається впорядкованим набором чисел, прирівняти «координати» рівних векторів і отримаєте систему n лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь з n невідомими a1, a2, ..., am (див. Рис.2).
4
Лінійна незалежність системи векторів (x1, x2, ..., xm) в силу еквівалентних перетворень еквівалентна тому, що однорідна система (рис. 2) має єдине нульове рішення. Спільна система тоді і тільки тоді має єдине рішення, коли ранг матриці (матриця системи складена з координат векторів (x1, x2, ..., xm) системи дорівнює числу невідомих, тобто n.Ітак, для того щоб обгрунтувати той факт, що вектори утворюють базис, слід скласти з їхніх координат визначник і переконатися, що він не дорівнює нулю.
Базисом системи векторів називають впорядковану сукупність лінійно незалежних векторів e ?, e ?, ..., en лінійної системи X розмірності n. Універсального рішення задачі по знаходженню базису конкретної системи не існує. Можна спочатку обчислити його, а потім довести існування.
Вам знадобиться
  • папір, ручка
Інструкція
1
Вибір базису лінійного простору можна здійснити за допомогою другої посилання, наведеною після статті. Шукати універсальну відповідь не варто. Підберіть систему векторів, а потім приведіть доказ її придатності в якості базису. Чи не пробуйте робити це алгоритмічно, в даному випадку треба йти іншим шляхом.
2
Довільний лінійний простір, в порівнянні з простором R ?, не багато властивостями. Проведіть додавання множення вектора на число R ?. Можна піти таким шляхом. Виміряйте довжини векторів і кути між ними. Обчисліть величину площі, обсяги і відстань між об'єктами простору. Потім виконайте наступні маніпуляції. Накладіть на довільне простір склярное твір векторів x і у ((x, y) = x? Y? + X? Y? + ... + Xnyn). Тепер його можна назвати Евклідовому. Воно являє величезну практичну цінність.
3
В довільному по розмірності базисі введіть поняття ортогональності. Якщо склярное твір векторів x і y дорівнює нулю, значить вони ортогональні. Така система векторів є лінійно незалежною.
4
Ортогональні функції в загальному випадку є нескінченновимірними. Попрацюйте з Евклідовому функціональним простором. Розкладіть по ортогональному базису e? (T), e? (T), e? (T), ... вектора (функції) х (t). Уважно вивчіть результат. Знайдіть коефіцієнт? (Координат вектора х). Для цього коефіцієнт Фур'є помножте на вектор е? (Див. Малюнок). Отриману в результаті обчислень формулу можна назвати функціональним рядом Фур'є за системою ортогональних функцій.
5
Вивчіть систему функцій 1, sint, cost, sin2t, cos2t, ..., sinnt, cosnt, .... Визначте ортогональна вона на на на [- ?,?]. Виконайте перевірку. Для цього обчисліть склярние твори векторів. Якщо результат перевірки доводить ортогональность цієї тригонометричної системи, то вона є базисом в просторі C [- ?,?].
Зверніть увагу
В С [a, b] (так позначається простір неперервних на [a, b] функцій) скалярний твір функцій обчислюється за допомогою визначеного інтеграла від їх твори. Пі цьому функції ортогональні на [a, b], якщо? [A, b]? І (t)? Ј (t) dt = 0, i? J
Корисна порада
Система тригонометричних функцій повинна бути ортогональна тільки саме [- ?,?].