Як вирішувати межі.

Операція взяття межі функції означає знаходження її граничного значення при конкретному значенні аргументу. Для того щоб вирішити задачу з межею, потрібно знати декілька основних прийомів.

Інструкція
1
Межа - елемент математичного аналізу, що дорівнює граничному значенню функції в заданій точці. Іншими словами, це значення, до якого прагне функції при прагненні аргументу до певної точки. Само граничне значення не обов'язково має належати області визначення функції.
2
Операції знаходження межі від будь-якого виразу означає обчислення значення цього виразу при значенні аргументу, рівного вказаною в запису. Наприклад, запис lim_ (x? 0) (x ^ 2 - 2)/(3 * x ^ 2 - 5 * x + 1) можна прочитати так: знайти межу даного вираження при х, що прагне до 0.
3
Підставивши 0, ви отримаєте:

lim_ (x? 0) (x ^ 2 - 2)/(3 * x ^ 2 - 5 * x + 1) = (0 - 2)/(0 - 0 + 1) = -2;

Вирішити той же межа для x? 5:

lim_ (x? 5) (x ^ 2 - 2)/(3 * x ^ 2 - 5 * x + 1) = ( 25 - 2)/(3 * 25 - 5 * 5 + 1) = 23/51.

4
Іноді потрібно спочатку спростити вираз, що стоїть під знаком межі. Для цього застосовуються звичайні математичні прийоми, такі як приведення до спільного знаменника, винесення спільного множника (Одночлен, многочлена та ін) за дужку, заміна часто зустрічається складного загального множника на іншу змінну, наприклад:

lim_ (x? 27) ( 3 * x + 1)/(5 * x +? x) = [? x = y] = lim_ (y? 3) (3 * y ^ 3 + 1)/(5 * y ^ 3 + y) = ( 3 * 27 + 1)/(5 * 27 + 3) = 82/138 = 41/69.

5
Слід зазначити, що межа може і не мати однозначного значення; особливо часто такі ситуації виникають при значенні аргументу, що прагне до нескінченності або нулю. Якщо межа не визначений, то говорять, що функція розходиться. Для розкриття невизначеностей виду 0/0 і?/? застосовується правило Бернуллі-Лопіталя, яке полягає в тому, що при дотриманні деяких умов межа функції дорівнює межі її першої похідної.
6
Наприклад, вирішите:

lim_ (x? 0) (x ^ 3 - 2 * x ^ 2 + x)/(x ^ 4 + 3 * x ^ 3 + 5 * x) = 0/0; lim_ (x? 0) ((x ^ 3 - 2 * x ^ 2 + x)/(x ^ 4 + 3 * x ^ 3 + 5 * x)) '= lim_ (x? 0) (3 * x ^ 2 - 4 * x + 1)/(4 * x ^ 3 + 9 * x ^ 2 + 5) = 1/5.

7
Існує поняття чудових меж, які є граничними значеннями широко поширених математичних тотожностей, наприклад:

lim_ (x? 0) (sin (x)/x) = 1; lim_ (x? ?) (1 + 1/x) ^ x = e (число Ейлера? 2,718281828).