Як знайти рівняння перпендикулярної прямої.

В декартовій системі координат всяка пряма може бути записана у вигляді лінійного рівняння. Розрізняють загальний, канонічний і параметричний способи завдання прямий , кожен з яких передбачає свої умови перпендикулярності.
Інструкція
1
Нехай дві прямі в просторі задані канонічними рівняннями: (x-x1)/q1 = (y-y1)/w1 = (z-z1)/e1; (x-x2)/q2 = (y-y2 )/w2 = (z-z2)/e2.
2
Числа q, w і e, представлені в знаменниках, є координатами напрямних векторів до цих прямим. Напрямних називають такий ненульовий вектор, який лежить на даній прямий або паралельний їй.
3
Косинус кута між прямими має формулу: cos? = ± (q1 · q2 + w1 · w2 + e1 · e2)/? [(Q1)? + (W1)? + (E1)?] · [(Q2)? + (W2)? + (E2)?].
4
Прямі, задані канонічними рівняннями, взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх направляючі вектори ортогональні. Тобто, кут між прямими (він же - кут між напрямними векторами) дорівнює 90 °. Косинус кута в цьому випадку звертається в нуль. Оскільки косинус виражений дробом, то його рівність нулю еквівалентно нульового знаменника. У координатах це запишеться так: q1 · q2 + w1 · w2 + e1 · e2 = 0.
5
Для прямих на площині ланцюжок міркувань виглядає аналогічно, але умова перпендикулярності запишеться трохи більше спрощено: q1 · q2 + w1 · w2 = 0, тому третя координата відсутня.
6
Нехай тепер прямі задані загальними рівняннями: J1 · x + K1 · y + L1 · z = 0; J2 · x + K2 · y + L2 · z = 0.
7
Тут коефіцієнти J, K, L - це координати нормальних векторів. Нормаль - це одиничний вектор, перпендикулярний до прямий .
8
Косинус кута між прямими тепер запишеться в такому вигляді: cos? = (J1 · J2 + K1 · K2 + L1 · L2)/? [(J1)? + (K1)? + (L1)?] · [(J2)? + (K2)? + (L2)?].
9
Прямі взаємно перпендикулярні в тому випадку, якщо нормальні вектори ортогональні. В векторному вигляді, відповідно, ця умова виглядає так: J1 · J2 + K1 · K2 + L1 · L2 = 0.
10
Прямі на площині, задані загальними рівняннями, перпендикулярні, коли J1 · J2 + K1 · K2 = 0.
Корисна порада
Маючи рівняння деякої прямої, знайдіть рівняння прямої, яка їй перпендикулярна, використовуючи викладені вище властивості.
Часто відомо, що y залежить від x лінійно, і дано графік цієї залежності. У цьому випадку можливе дізнатися рівняння прямий. Спочатку потрібно вибрати на прямий дві точки.
Інструкція
1
На малюнку ми вибрали точки А і B. Зручно вибирати точки перетину з осями. Двох точок достатньо для того, щоб точно визначити пряму.
2
Знайдіть координати вибраних точок. Для цього опустіть перпендикуляри від точок на осі координат і запишіть цифри зі шкали. Так для точки B з нашого прикладу координата x дорівнює -2, а координата y - 0. Аналогічним чином для точки А координати будуть (2, 3).
3
Відомо, що рівняння прямий має вигляд y = kx + b. Підставляємо в рівняння в загальному вигляді координати вибраних точок, тоді для точки A отримаємо таке рівняння : 3 = 2k + b. Для точки B отримаємо інше рівняння : 0 = -2k + b. Очевидно, що у нас система з двох рівнянь з двома невідомими: k і b.
4
Далі вирішуємо систему будь-яким зручним способом. У нашому випадку можна скласти рівняння системи, так як невідома k входить в обидва рівняння з коефіцієнтами, які однакові за модулем, але протилежні за знаком. Тоді отримаємо 3 + 0 = 2k - 2k + b + b, або, що те ж: 3 = 2b. Таким чином b = 3/2. Підставами знайдене значення b в будь-яке з рівнянь, щоб знайти k. Тоді 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.
5
Підставами знайдені k і b в рівняння загального вигляду і отримаємо шукане рівняння прямий: y = 3x/4 + 3/2.
Зверніть увагу
Коефіцієнт k називається кутовим коефіцієнтом прямої і дорівнює тангенсу кута між прямою і віссю x.