Як продифференцировать функцію.

Операція диференціювання функцій вивчається в математиці, будучи одним з фундаментальних її понять. Однак застосовується вона також і в природничих науках, наприклад, у фізиці.
Інструкція
1
Метод диференціювання застосовується для знаходження функції, похідної від початкової. Похідна функція - це відношення межі приросту функції до приросту аргументу. Це найпоширеніше уявлення похідної, яку прийнято позначати знаком апострофа «'». Можливо неодноразове диференціювання функції, при цьому утворюються перша похідна f '(x), друга f' '(x) і т.д. Похідні вищих порядків позначають f ^ (n) (x).
2
Щоб продифференцировать функцію , можна скористатися формулою Лейбніца: (f * g) ^ (n) =? C (n) ^ k * f ^ (nk) * g ^ k, де C (n) ^ k- прийняті біноміальні коефіцієнти. Найпростіший випадок першої похідної легше розглянути на конкретному прикладі: f (x) = x ^ 3.
3
Отже, за визначенням: f '(x) = lim ((f (x) - f (x_0))/(x - x_0)) = lim ((x ^ 3 - x_0 ^ 3)/( x - x_0)) = lim ((x - x_0) * (x ^ 2 + x * x_0 + x_0 ^ 2)/(x - x_0)) = lim (x ^ 2 + x * x_0 + x_0 ^ 2) при x, що прагне до значення x_0.
4
Позбавляємося від знака межі, підставляючи в отримане вираження значення x, рівне x_0. Отримуємо: f '(x) = x_0 ^ 2 + x_0 * x_0 + x_0 ^ 2 = 3 * x_0 ^ 2.
5
Розглянемо диференціювання складних функцій. Такими функціями є композиціями або суперпозиціями функцій, тобто результат однієї функції є аргументом для іншої: f = f (g (x)).
6
Похідна такої функції має вигляд: f '(g (x)) = f' (g (x)) * g '(x), тобто дорівнює добутку старшої функції по аргументу молодшої на похідну молодшої функції.
7
Щоб продифференцировать композицію з трьох і більше функцій, застосовують те ж правило за наступним принципом: f '(g (h (x))) = f' (g (h (x))) * (g (h (x))) '= f' (g (h (x))) * g '(h (x)) * h' (x).
8
Знання похідних деяких найпростіших функцій є гарною підмогою у вирішенні завдань на диференціальне числення: - похідна константи дорівнює 0; - похідна найпростішої функції аргументу в першого ступеня x '= 1; - похідна суми функцій дорівнює сумі їх похідних: (f (x) + g (x)) '= f' (x) + g '(x); - аналогічно похідна твори дорівнює добутку похідних; - похідна приватного двох функцій: (f (x)/g (x))' = (f '(x) * g (x) - f (x) * g' (x))/g ^ 2 (x); - (C * f (x)) '= C * f' (x), де C - константа; - при диференціюванні ступінь одночлена виноситься у вигляді множника, а сама ступінь знижується на 1: (x ^ a) '= a * x ^ (a-1); - тригонометричні функції sinx і cosx в диференціальному численні носять відповідно непарний і парний характер - (sinx) '= cosx і (cosx)' = - sinx; - (tg x) '= 1/cos ^ 2 x; - (ctg x)' = - 1/sin ^ 2 x.