Як знайти координати точок перетину медіан.

З курсу шкільної геометрії відомо, що медіани трикутника перетинаються в одній точці. Тому розмова слід вести про точку перетину, а не про декількох точках.
Інструкція
1
Спочатку необхідно обговорити вибір зручної для вирішення завдання системи координат. Зазвичай в задачах такого роду одну зі сторін трикутника поміщають на осі 0Х так, щоб одна точка збігалася з початком координат. Тому не варто відходити від загальноприйнятих канонів рішення і зробити також (див. Рис. 1). Спосіб завдання самого трикутника не грає принципової ролі, так як завжди можна перейти від одного з них до іншого (у чому ви надалі зможете переконатися).
2
Нехай шуканий трикутник заданий двома векторами його сторін АС і АВ a (x1, y1) і b (x2, y2), соот-льної. Більше того, з побудови y1 = 0. Третя сторона ВС відповідає c = ab, c (x1-x2, y1 -y2), відповідно до даної ілюстрації. Точка А поміщена в початок координат, тобто її координати А (0, 0). Легко також зауважити, що координати В (x2, y2), a C (x1, 0). Звідси можна зробити висновок, що завдання трикутника двома векторами автоматично збіглося з його завданням трьома крапками.
3
Далі слід добудувати шуканий трикутник до відповідного йому за розмірами паралелограма ABDC. При цьому відомо, що в точці перетину діагоналей паралелограма вони діляться навпіл, так, що АQ медіана трикутника АВС, опускається з А на сторону ВС. Вектор діагоналі s містить цю медіану і є, за правилом паралелограма, геометричній сумою a і b. Тоді s = a + b, а його координати s (x1 + x2, y1 + y2) = s (x1 + x2, y2). Такі ж координати будуть і у точки D (x1 + x2, y2).
4
Тепер можна переходити до складання рівняння прямої, що містить s, медіану AQ і, са-моє головне, шукану точку перетину медиан H. Так як сам вектор s є направляю-щим для даної прямої , а також відома точка А (0, 0), що належить їй, то найпростіше - це використовувати рівняння плоскої прямої в канонічному вигляді: (x-x0)/m = (y-y0)/n.Здесь (x0, y0) координати довільної точки прямої (точка А (0, 0)), а (m, n) - координати s (вектор (x1 + x2, y2). І так, шукана пряма l1 буде мати вигляд: x/(x1 + x2) = y/y2.
5
Самий природний спосіб знаходження координат точки - це визначення її в перетині двох прямих. Тому слід знайти ще одну пряму, яка містить т. Н. Для цього на рис. 1 виконано побудова ще одного паралелограма АPBC, діагональ якого g = a + c = g (2x1-x2, -y2) містить другий медіану CW, опущену з С на сторону АВ. Це діагональ містить точку С (x1, 0), координати якій гратимуть роль (x0, y0), а спрямовує вектор тут буде g (m, n) = g (2x1-x2, -y2) . Звідси l2 задається рівнянням: (x-x1)/(2 x1-x2) = y/(- y2).
6
Вирішивши спільно рівняння для l1 і l2, легко знайти координати точки перетину медиан Н: Н ((x1 + x1)/3, y2/3).
Медіаною трикутника називається лінія, яка проведена з його кута і ділить навпіл протилежну сторону. Всі медіани перетинаються в одній точці. Знайти цю точку необхідно, якщо потрібно знати, де знаходиться центр ваги деталі, що має трикутну форму. Це можна зробити за допомогою геометричних побудов.
Вам знадобиться
  • - трикутник із заданими параметрами;
  • - олівець;
  • - транспортир;
  • - лінійка;
  • - комп'ютер з програмою AutoCAD.
Інструкція
1
Обчислення почніть з геометричних побудов. Побудуйте трикутник згідно з наявними у вас даними. Це можуть бути три сторони, сторона і два прилеглих до неї кута або ж дві сторони і кут між ними. Для визначення точки перетину медиан вам необхідно знати розміри всіх трьох сторін, тому позначте на кресленні те, що вам відомо і знайдіть інші розміри.
2
Позначте трикутник як АВС. Боку, противолежащие кутках, будуть відповідно, a, b і с. Проведіть медіани і позначте їх як m1, m2 і m3, а точку їх перетину - як О.
3
Згадайте властивість медіан. Точка перетину відсікає від кожної з них відрізки в співвідношенні 2: 1. Більший відрізок - той, який обмежений вершиною кута і точкою О. Це важливо, оскільки вам необхідно визначити відстань цієї точки від кожного з кутів.
4
Довжину медіани, що належить тій чи іншій стороні, обчисліть за формулою Стюарта. Вона дорівнює квадратному кореню з дробу, чисельник якого є сумою подвоєних квадратів сторін, які не належать даній медіані, за вирахуванням з неї квадрата третьої сторони. У знаменнику подкоренного вираження стоїть число 4. Тобто m1 =? (2 * a2 + 2 * b2-c2)/4. Обчисліть таким же чином дві інші медіани.
5
Позначте відрізки, на які ділить медіану точка перетину , як L1 і L2. Відрізок L1 в два рази більше відрізка L2. При цьому L2 = m1/3. Знайдіть відстань L2. Воно дорівнює 2 * L1, тобто L2 = 2 * m/3. Таким же чином знайдіть відстані точки перетину від інших кутів трикутника і його сторін.
6
Для визначення точки перетину медиан в AutoCAD побудуйте трикутник, визначивши координати його вершин. Позначте трикутник як АBC. Знайдіть координату точки О по осі х. Вона дорівнюватиме сумі координат х всіх вершин трикутника, поділеній на 3. Точно так же знайдіть і координату y. Для більш точних розрахунків користуйтеся вбудованим калькулятором.
Корисна порада
В AutoCAD можна поступити і іншим способом. Знайдіть координати медиан. Для цього складіть однойменні координати двох кутів, що належать одній стороні. Отриману суму поділіть на 2. Таким же чином знайдіть другий координату. Для визначення точки перетину досить згадати властивість медіани ділитися в точці перетину у співвідношенні 2: 1. Знаючи координати кута і точки перетину медіани зі стороною, знайдіть цю точку. Складіть однойменні координати і розділіть їх суму на 3, поступово точно так само з другою парою.