Як знайти екстремум функції двох змінних.

За визначенням, точка М0 (x0, y0) називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції двох змінних z = f (x, y), якщо в деякій околиці точки U (x0, y0), для будь-якої точки M (x, y) виконано f (x, y) f (x0, y0)). Ці точки називаються екстремумами функції . У тексті приватні похідні позначаються згідно з рис. 1.
Інструкція
1
Необхідною умовою екстремуму є рівність нулю приватних похідних функції по x і по y. Точка M0 (x0, y0), в якій в нуль звертаються обидві приватні похідні, називається стаціонарною точкою функції z = f (x, y).
2
Зауваження. Приватні похідні функції z = f (x, y) можуть не існувати в точці екстремуму, тому точками можливого екстремуму є не тільки стаціонарні точки, але й точки, в яких приватні похідні не існує (їм відповідають вістря поверхні - графіка функції ).
3
Тепер можна перейти до достатніх умов наявності екстремуму. Якщо диференційована функція має екстремум, то він може бути тільки в стаціонарній точці. Достатні умови екстремуму формулюються таким чином: нехай в деякій околиці стаціонарної точки (x0, y0) функція f (x, y) має безперервні приватні похідні другого порядку. Наприклад: (cм. Рис.2)
4
Тоді: а) якщо Q> 0, то в точці (x0, y0) функція має екстремум, причому при f '' (x0, y0) 0) - локальний мінімум; б) якщо Q
5
Для відшукання екстремуму функції двох змінних можна запропонувати наступну схему: спочатку знаходяться стаціонарні точки функції . Потім у цих точках перевіряються достатні умови екстремуму. Якщо функція в якихось точках не має приватних похідних, то в цих точках теж може бути екстремум, але достатні умови вже не будуть застосовні.
6
Приклад. Знайти екстремуми функції z = x ^ 3 + y ^ 3-xy.Решеніе. Знайдемо стаціонарні точки функції (див. Рис. 3):
7
Рішення останньої системи дає стаціонарні точки (0, 0) і (1/3, 1/3). Тепер необхідно перевірити виконання достатньої умови екстремуму. Знайдіть другі похідні, а також стаціонарні точки Q (0,0) і Q (1/3, 1/3) (див. Рис 4):
8
Так як Q (0, 0) 0, отже, в точці (1/3, 1/3) екстремум є. З урахуванням того, що друга похідна (по xx) в (1/3, 1/3) більше нуля, необхідно прийняти рішення, що ця точка є мінімумом.