Як брати інтеграл. прийоми при взятті інтегралів.

Поняття «взяття інтеграла » тісно пов'язане із знаходженням первісної функції. Функція F (x) називається первообразной до f (x), якщо її похідна F '(x) дорівнює f (x). Так як похідна будь константи дорівнює нулю, то і первісних у f (x) буде нескінченно багато. Всі вони збігаються між собою з точністю до константи. Традиційне позначення невизначеного інтеграла представлено на рис.1.
Вам знадобиться
  • Таблиця найпростіших інтегралів.
Інструкція
1
В математиці існує досить велика кількість способів «взяти» інтеграл. В даній статті коротко розглянуті ті з них, які прийнято називати найпростішими прийомами інтегрування. Ці прийоми використовують властивості невизначених інтегралів і тотожні перетворення підінтегральної функції.
2
1. Безпосереднє интегрирование.Непосредственное інтегрування полягає в обчисленні інтегралів за допомогою їх певних властивостей і спеціальних таблиць. Приклад 1. Обчислити інтеграл? (4/(cosx ^ 2) - 3cosx + 2/(x-1)) dxРешеніе. ? (4/(cosx ^ 2) - 3cosx + 2/(x-1)) dx = 4? Dx/(cosx ^ 2) - 3? Cosxdx +2? Dx/(x-1) = 4tgx-3sinx + 2ln | x-1 | + C.
3
Тепер можна розглянути правило, яке дозволяє розширити можливості іcпользованія таблиці основних інтегралів. Якщо? F (x) dx = F (x) + C, то? F (kx + b) dx = (1/k) F (kx + b) + CПрімер 2.? Sin (5x) dx = - (1/5) cos (5x) + C.
4
2. Розкладання підінтегральної функції. Даний прийом полягає в перетворенні підінтегральної функції, використовуючи формули алгебри і тригонометрії. Підінтегральна функція представляється у вигляді суми функцій, інтеграли від яких можна легко брать.Прімер 3.? (1+ (cosx) ^ 2/(1 + cos (2x)) dx = [1 + cos (2x) = 2 (cosx) ^ 2] =? (1+ (cosx) ^ 2/2 (cosx) ^ 2) dx == (1/2)? 1/(cosx) ^ 2) dx + (1/2)? dx = (1/2) (tgx + x) + C.Прімер 4.? dx/((sinx) ^ 2) (cosx) ^ 2)) =? ((sinx) ^ 2 + (cosx) ^ 2)/((sinx) ^ 2) (cosx) ^ 2)) dx =? (1/(cosx) ^ 2 + 1/(sinx) ^ 2) dx = tgx-ctgx + C.
5
3. Підбиття під знак диференціала. Цей прийом заснований на властивості інваріантності формул інтегрування. Підінтегральна функція перетвориться до виду f (u (x)) u '(x), а потім співмножник u' (x) підводиться під знак диференціала (інтегрується) - u '(x) dx = d (u (x)), після чого застосовується формула? (f (u (x)) du (x)) = u (x) + C.
6
Приклад 5.? (Arctgx/(1 + x ^ 2)) dx = | dx/(1 + x ^ 2) = d (arctgx) | =? (Arctgxd (arctgx)) = (1/2) (arctgx) ^ 2 + C.Прімер 6.? xsqrt (1-x ^ 2) dx = | d (1-x ^ 2) = - 2xdx | = - (1/2)? ((1-x ^ 2) ^ (1/2 + 1))/(1/2 + 1) + C = - (1/3) sqrt ((1-x ^ 2) ^ 3) + C.Прімер 7.? (( cosx) ^ 3) sin (2x) dx = 2? (cosx) ^ 3) cosxsinxdx = -2? ((cosx) ^ 4) d (cosx) = - (2/5) (cosx) ^ 5 + C.