Як знайти площу криволінійної трапеції.

Криволінійна трапеція являє собою фігуру, обмежену графіком неотрицательной і безперервної функції f на проміжку [a; b], віссю OX і прямими x = a і x = b. Для обчислення її площі використовуйте формулу: S = F (b) -F (a), де F - первісна для f.
Вам знадобиться
  • - олівець;
  • - ручка;
  • - лінійка.
Інструкція
1
Вам необхідно визначити площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f (x). Знайдіть первісну F для заданої функції f. Побудуйте криволинейную трапецію.
2
Знайдіть декілька контрольних точок для функції f, обчисліть координати перетину графіка даної функції з віссю OX, якщо вони є. Зобразіть графічно інші задані лінії. Заштрихуйте шукану фігуру. Знайдіть x = a і x = b. Обчисліть площу криволінійної трапеції, використовуючи формулу S = F (b) -F (a).
3
Приклад I. Визначте площу криволінійної трапеції, обмеженої лінією y = 3x-x ?. Знайдіть первісну для функції y = 3x-x ?. Це буде F (x) = 3/2x? -1/3x ?. Функція y = 3x-x? являє собою параболу. Її гілки спрямовані вниз. Знайдіть точки перетину даної кривої з віссю OX.
4
З рівняння: 3x-x? = 0, випливає, що x = 0 і x = 3. Шукані точки - (0; 0) і (0; 3). Отже, a = 0, b = 3. Знайдіть ще кілька контрольних точок і покажіть графік даної функції. Обчисліть площу заданої фігури за формулою: S = F (b) -F (a) = F (3) -F (0) = 27/2-27/3-0 + 0 = 13, 5-9 = 4,5.
5
Приклад II. Визначте площу фігури, обмеженої лініями: y = x? і y = 4x. Знайдіть первісні для даних функцій. Це буде F (x) = 1/3x? для функції y = x? і G (x) = 2x? для функції y = 4x. За допомогою системи рівнянь знайдіть координати точок перетинань параболи y = x? і лінійної функції y = 4x. Таких точок дві: (0; 0) і (4; 16).
6
Знайдіть контрольні точки і покажіть графіки заданих функцій. Легко помітити, що шукана площу дорівнює різниці двох фігур: трикутника, утвореного прямими y = 4x, y = 0, x = 0 і x = 16 і криволінійної трапеції, обмеженої лініями y = x ?, y = 0, x = 0 і x = 16.
7
Обчисліть площі даних фігур за формулою: S? = G (b) -G (a) = G (4) -G (0) = 32-0 = 32 і S? = F (b) -F (a) = F (4) -F (0) = 64/3-0 = 64/3. Отже, площу шуканої фігури S дорівнює S? -S? = 32-64/3 = 32/3.