Як вирішувати числові ряди. знайти суму числового ряду.

З назви числового ряду очевидно, що це послідовність чисел. Застосовується цей термін в математичному, а також комплексному аналізі як система наближень до чисел. Поняття числового ряду нерозривно пов'язане з поняттям межі, а основною характеристикою є збіжність.
Інструкція
1
Нехай є числова послідовність виду a_1, a_2, a_3, ..., a_n і деяка послідовність s_1, s_2, ..., s_k, де n і k прагнуть до?, А елементи послідовності s_j являють собою суми деяких членів послідовності a_i. Тоді послідовність a є числовим рядом, а s - послідовністю його часткових сум: s_j =? A_i, де 1? i? j.
2
Завдання на рішення числових рядів зводяться до визначення його збіжності. Кажуть, що ряд сходиться, якщо сходиться послідовність його часткових сум і абсолютно сходиться, якщо послідовність модулів його часткових сум сходиться. І навпаки, якщо розходиться послідовність часткових сум ряду, то він розходиться.
3
Щоб довести збіжність послідовності часткових сум, необхідно перейти до поняття її межі, який називають сумою ряду: S = lim_n ? _ (I = 1) ^ n a_i.
4
Якщо ця межа існує і він кінцевий, то ряд сходиться. Якщо він не існує або нескінченний, то ряд розходиться. Є ще один необхідний, але не достатній ознака збіжності ряду. Це загальний член ряду a_n. Якщо він прагне до нуля: lim a_i = 0 при I? ?, То ряд сходиться. Ця умова розглядають в сукупності з аналізом інших ознак, т.к. воно недостатнє, проте якщо загальний член не прагне до нуля, то ряд однозначно розходиться.
5
Прімер1.Определіте збіжність ряду 1/3 + 2/5 + 3/7 + ... + n/(2 * n + 1) + ... .Решеніе.Пріменіте необхідний ознака збіжності - чи прагне загальний член до нуля: lim a_i = lim n/(2 * n + 1) =? .Отже, a_i? 0, отже, ряд розходиться.
6
Прімер2.Определіте збіжність ряду 1 +? + 1/3 + ... + 1/n + ... .Решеніе.Стремітся чи загальний член до нуля: lim 1/n = 0. Так, прагне, виконаний необхідний ознака збіжності, однак цього недостатньо. Тепер за допомогою межі послідовності сум спробуємо довести, що ряд розходиться: s_n =? _ (K = 1) ^ n 1/k = 1 +? + 1/3 + ... + 1/n. Послідовність сум, хоч і дуже повільно, але очевидно прагне до?, Отже, ряд розходиться.
7
Ознака збіжності Даламбера. Нехай існує кінцевий межа відносини наступного і попереднього членів ряду lim (a_ (n + 1)/a_n) = D. Тоді: D <1 - ряд сходиться; D> 1 - ряд розходиться; D = 1 - рішення невизначено, потрібно скористатися додатковою ознакою.
8
Радикальний ознака збіжності Коші.Пусть існує кінцевий межа виду lim? (N & a_n) = D. Тоді: D <1 - ряд сходиться; D> 1 - ряд розходиться; D = 1 - немає однозначної відповіді.
9
Ці дві ознаки можна використовувати в сукупності, однак ознака Коші сильніший. Існує також інтегральний ознака Коші, згідно з яким для визначення збіжності ряду необхідно знайти відповідний визначений інтеграл. Якщо він сходиться, то сходиться і ряд, і навпаки.