Як знайти координати перетину висот у трикутнику.

Лінія, проведена з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони, називається його висотою . Знаючи координати вершин трикутника, можна знайти його ортоцентр - точку перетину висот.
Інструкція
1
Розгляньте трикутник з вершинами A, B, C, координати яких, відповідно (xa, ya), (xb, yb), (xc, yc). Проведіть висоти з вершин трикутника і позначте точку перетину висот як точку О з координатами (x, y), які і необхідно знайти.
2
Складіть рівняння сторін трикутника. Сторона AB виражається рівнянням (x? Xa)/(xb? Xa) = (y? Ya)/(yb? Ya). Наведіть рівняння до виду y = k? X + b: x? Yb? X? Ya? Xa? Yb + xa? Ya = y? Xb? Y? Xa? Ya? Xb + ya? Xa, що рівносильно y = (( yb? ya)/(xb? xa))? x + xa? (ya? yb)/(xb? xa) + ya. Позначте кутовий коефіцієнт k1 = (yb? Ya)/(xb? Xa). Аналогічним чином знайдіть рівняння будь-який інший сторони трикутника. Сторона AC задається формулою (x? Xc)/(xa? Xc) = (y? Yc)/(ya? Yc), y = ((ya? Yc)/(xa? Xc))? X + xc? (Ya ? yc)/(xc? xa) + ya. Кутовий коефіцієнт k2 = (yc? Yb)/(xc? Xb).
3
Запишіть ураненіе висот трикутника, проведених з вершин B і C. Так як висота, що виходить з вершини B, буде перпендикулярна стороні AС, то її рівняння матиме вигляд y? Ya = (- 1/k2)? (X ? xa). А висота, що проходить перпендикулярно стороні AB і виходить з точки C, виражатиметься у вигляді y? Yc = (- 1/k1)? (X? Xc).
4
Знайдіть точку перетину двох висот трикутника, вирішивши систему з двох рівнянь з двома невідомими: y? Ya = (- 1/k2)? (X? Xa) і y? Yb = ( -1/k1)? (x? xb). Висловіть змінну y з обох рівнянь, прирівняти ці вирази і вирішите рівняння щодо x. А потім підставте отримане значення x в одне з рівнянь і знайдіть y.
5
Розгляньте для найкращого розуміння питання приклад. Нехай дано трикутник з вершинами A (-3, 3), B (5, -1) і C (5, 5). Складіть рівняння сторін трикутника. Сторона AB виражається за формулою (x + 3)/(5 + 3) = (y? 3)/(- 1? 3) або y = (- 1/2)? X + 3/2, тобто k1 = - 1/2. Сторона AC задається рівнянням (x + 3)/(5 + 3) = (y? 3)/(5? 3), тобто y = (1/4)? X + 15/4. Кутовий коефіцієнт k2 = 1/4. Рівняння висоти, котра виходить з вершини C: y? 5 = 2? (X? 5) або y = 2? X? 5, а висоти, котра виходить з вершини B: y? 5 = -4? (X + 1), що є y = -4? x + 19. Вирішіть систему з цих двох рівнянь. Виходить, що ортоцентр має координати (4, 3).