Як обчислити криволінійний інтеграл.

Криволінійний інтеграл береться вздовж якої-небудь плоскою або просторової кривої. Для обчислення прийняті формули, які дійсні при дотриманні певних умов.
Інструкція
1
Нехай на кривій в декартовій системі координат визначена функція F (x, y). Для інтегрування функції крива розбивається на відрізки довжиною, близької до 0. Усередині кожного такого відрізка вибираються точки Mi з координатами xi, yi, визначаються значення функції в цих точках F (Mi) і множаться на довжини ділянок: F (M1) ·? S1 + F (M2) ·? s2 + ... F (Mn) ·? sn =? F (Mi) ·? si при 1? I? n.
2
Отримана сума називається криволінійної інтеграл ьной сумою. Відповідний інтеграл дорівнює межі від цієї суми:? F (x, y) ds = lim? F (Mi) ·? Si = lim? F (xi, yi) ·? ((? Xi)? + (? Yi)?) = Lim F (xi, yi) ·? (1 + (? Yi/? Xi)?) ·? Xi =? F (x, y) ·? (1 + (y ')?) dx.
3
Прімер.Найдіте криволінійний інтеграл ? X? · Yds уздовж лінії y = ln x при 1? x? e.Решеніе.По формулою:? x? yds =? x? ·? (1 + ((ln x) ')?) =? x? ·? (1 + 1/x) =? x? ·? ((1 + x?)/X) =? X ·? (1 + x?) Dx = 1/2 · (1 + x?) D (1 + x) =? · (1 + x) ^ 3/2 = [1? x? e] = 1/3 · ((1 + e?) ^ 3/2 - 2 ^ 3/2)? 7,16.
4
Нехай крива задана в параметричній формі x =? (T), y =? (T). Щоб обчислити криволінійний інтеграл , застосуємо вже відому формулу:? F (x, y) ds = lim? F (Mi) ·? Si = lim? F (xi, yi) ·? ((? Xi )? + (? yi)?).
5
Підставивши значення x і y, отримаємо:? F (x, y) ds = lim? F (? (Ti),? (Ti)) ·? ( (Ti) + (ti)) ·? Ti =? F (? (T),? (T)) ·? ( + ) dt.
6
Прімер.Вичісліте криволінійний інтеграл ? Y? Ds, якщо лінія задана параметрично: x = 5 · cos t, y = 5 · sin t при 0? t? ?/2.Решеніе.ds = (25 · cos? T + 25 · sin? T) dt = 5dt.? Y? Ds =? 25 · sin? T · 5dt = 125/2? (1 - cos 2t) dt = 125/2 · (t - sin 2t/2) = [0? t? ?/2] = 125/2 · ((?/2 - 0) - (0 - 0)) = 125/2 ·?/2 = 125 ·?/4.