Як визначити координати центра ваги.

В однорідному гравітаційному полі центр ваги збігається з центром мас. В геометрії поняття «центр ваги» і «центр мас» також еквівалентні, оскільки існування гравітаційного поля не розглядається. Центр мас називається ще центром інерції і БАРИЦЕНТР (від греч. Barus? Важкий, kentron? Центр). Він характеризує рух тіла або системи частинок. Так, при вільному падінні тіло обертається навколо свого центру інерції.
Інструкція
1
Нехай система складається з двох однакових точок. Тоді центр ваги, очевидно, розташовується посередині між ними. Якщо точки з координатами x1 і x2 мають різні маси m1 і m2, то координата центру мас x (c) = (m1 · x1 + m2 · x2)/(m1 + m2). Залежно від обраного «нуля» системи відліку, координати можуть бути і негативними.
2
Точки на площині мають дві координати: x і y. При завданні в просторі додається ще третя координата z. Щоб не розписувати кожну координату окремо, зручно розглядати радіус-вектор точки: r = x · i + y · j + z · k, де i, j, k? орти координатних осей.
3
Нехай тепер система складається з трьох точок з масами m1, m2 і m3. Їх радіус-вектори, відповідно, r1, r2 і r3. Тоді радіус-вектор їх центру ваги r (c) = (m1 · r1 + m2 · r2 + m3 · r3)/(m1 + m2 + m3).
4
Якщо система складається з довільного числа точок, тоді радіус-вектор, за визначенням, знаходиться за формулою: r (c) =? M (i) · r (i)/? m (i). Підсумовування проводиться за індексом i (записується знизу від знака суми?). Тут m (i)? маса деякого i-го елемента системи, r (i)? його радіус-вектор.
5
Якщо тіло однорідне за масі, сума переходить в інтеграл. Розбийте подумки тіло на нескінченно маленькі шматочки масою dm. Оскільки тіло однорідне, масу кожного шматочка можна записати як dm =? · DV, де dV? елементарний об'єм цього шматочка,? ? щільність (однакова по всьому об'єму однорідного тіла).
6
Интегральное підсумовування маси всіх шматочків дасть масу всього тіла:? M (i) =? Dm = M. Отже, виходить r (c) = 1/M · · dV · dr. Щільність, постійну величину, можна винести з-під знака інтеграла: r (c) =?/M ·? DV · dr. Для безпосереднього інтегрування знадобиться встановити конкретну функцію між dV і dr, яка залежить від параметрів фігури.
7
Наприклад, центр ваги відрізка (довгого однорідного стержня) знаходиться посередині. Центр мас сфери і кулі розташовується в центрі. Баріцентр конуса знаходиться на чверті висоти осьового відрізка, рахуючи від підстави.
8
БАРИЦЕНТР деяких простих фігур на площині легко визначити геометрично. Наприклад, для плоского трикутника це буде точка перетину медіан. Для паралелограма? точка перетину діагоналей.
9
Центр ваги фігури можна визначити і дослідним шляхом. Виріжте з листа щільного паперу або картону будь-яку фігуру (наприклад, той же трикутник). Спробуйте встановити її на кінчику вертикально витягнутого пальця. Те місце на фігурі, для якого вийде це зробити, і буде центром інерції тіла.