Як довести, що вектора утворюють базис.

Базисом в n-вимірному просторі називається така система з n векторів, коли всі інші вектори простору можна представити у вигляді комбінації векторів, що входять в базис. В тривимірному просторі в будь базис входять три вектора. Але не будь-які три утворюють базис, тому й існує задача перевірки системи векторів на можливість побудови з них базису.
Вам знадобиться
  • - вміння обчислювати визначник матриці
Інструкція
1
Нехай в лінійному n-вимірному просторі існує система векторів e1, е2, е3, ..., еn. Їх координати: e1 = (e11; e21; e31; ...; en1), е2 = (Е12; е22; Е32; ...; еn2), ..., еn = (e1n; e2n; e3n; .. .; enn). Щоб дізнатися, чи утворюють вони базис в цьому просторі, складіть матрицю із стовпцями e1, е2, е3, ..., еn. Знайдіть її визначник і порівняйте його з нулем. Якщо визначник матриці з цих векторів не дорівнює нулю, то такі вектори утворюють базис в даному n-вимірному лінійному просторі.
2
Наприклад, нехай дано три вектора в тривимірному просторі a1, a2 і a3. Їх координати: а1 = (3; 1; 4), а 2 = (-4; 2; 3) і а3 = (2; -1; -2). Треба з'ясувати, чи утворюють ці вектора базис в тривимірному просторі. Складіть матрицю з векторів, як показано на малюнку.
3
Обчисліть визначник отриманої матриці. На малюнку показаний простий спосіб обчислення визначника матриці 3 на 3. Елементи, з'єднані лінією, слід перемножити. При цьому твори, позначені червоною лінією входять в загальну суму зі знаком "+", а з'єднані синьою лінією - зі знаком "-". det A = 3 * 2 * (- 2) + 1 * 2 * 3 + 4 * (- 4) * (- 1) - 2 * 2 * 4 - 1 * (- 4) * (- 2) - 3 * 3 * (- 1) = -12 + 6 + 16 - 16 - 8 + 9 = -5 -5? 0, отже, а1, а2 і а3 утворюють базис.
Відео по темі
 http://www.youtube.com/watch?v=jykCUPMEBGk