Як вирішувати комбінаторні задачі. обчислити всі поєднання з n по m.

Дане питання можна розглянути як з точки зору стандартних методів і підходів комбінаторики, так і з застосуванням теорії ймовірності. Це дозволяє дещо розширити кругозір, а також поглянути на поставлену задачу з нестандартною точки зору.
Інструкція
1
Як відомо, ймовірність простих подій визначається за класичною формулою Р (А) = m/n, в якій число подій (результатів) звичайно і равновозможних. При цьому n - загальне число фіналів, а m - число сприятливих результатів (умові завдання ). Тепер, необхідно розглянути три найбільш поширені формули комбінаторики: перестановки, поєднання і розміщення.
2
ПерестановкіПредставьте собі, що на столі лежать п'ять карток, на невидимій стороні яких написані цифри: 1, 2, 3, 4 і 5. Довільним чином, по одній, вони виймаються, перевертаються і укладаються по черзі. Яка ймовірність того, що витягнута комбінація буде числом 12345? Кількість сприятливих результатів m очевидно - m = 1. У той час як усього варіантів n = 5! = 120, де «!» - Знак факторіала буде цілих 120, а шукана ймовірність даної події Р = 1/120, відповідно. У даному прикладі загальне число фіналів шукали як число всіляких перестановок п'яти елементів по п'яти позиціях. Тому і в довільному випадку n елементів це число називають числом перестановок і позначають Pn (Pn = n!)
3
СочетаніяСледует розглянути наступний приклад. В кошику знаходиться деяка кількість куль двох кольорів, рівне n. У такій постановці завдання , число сполучень з n елементів по m називають безліч способів, що відрізняються один від одного кількістю куль різного кольору в кожній комбінації. При цьому n - загальне число куль (елементів), m - число елементів в витягнутої комбінації. Комбінації різні, якщо вони відрізняються хоча б одним елементом. Позначення числа сполучень і формула для обчислення наведені на малюнку 1.
4
Імовірно, необхідно обчислити вірогідність виграшу в спортлото 6 з 49, де «угадано» 4 з 6-ти. Очевидно, що при цьому використовується формула для сочетанія.Общее число фіналів С (з 49 по 6) = 49!/43! 6! Сприятливий число фіналів можна знайти з таких міркувань. Є 6 «хороших» із загальної кількості 49 номерів. З питання завдання достатньо 4-х збігів. З 6-ти «хороших» 4 можна вибрати С (з 6 по 4) способами. При цьому з решти 43 «поганих» вибираються 2 для доповнення обраної комбінації до шести елементів С (з 43 ПО2) способами. Звучить це наступним чином.
5
Кількість сприятливих ситуацій збирається як С (з 6 по 4) і С (з 37 по 2) (ситуація логічного множення). Значить m = С (з 6 по 4)? С (з 43 по 2). Таким чином, імовірність навіть самого «мізерного» виграшу Р = m/n = С (з 6 по 4)? С (з 43 по 2)/С (з 49 по 6) = (6!/2! 4!) ( 43!/2! 41!)/(49!/6! 43!) = 15 * 21 * 43/66 * 92 * 47 * 49 = 9 * 43/92 * 47 * 154 = 0,000347.
6
РазмещеніяЕслі в задачі про поєднаннях врахувати порядок проходження елементів в обраній комбінації з m елементів, то з'явиться задача про розміщених. Питання, на підставі якого приймається рішенням про застосування формули числа сполучень повинен додатково (порівняно з поєднаннями) містити дані про необхідність урахування порядку розташування елементів в обираних комбінаціях. Якщо вибрано m елементів, то обчислюючи число розміщень необхідно число сполучень помножити на число перестановок Pm = m !. Позначення числа розміщень і формули для його обчислення дано на рис. 2.
Рішення задач на знаходження різних комбінацій являє непідробний інтерес, а комбінаторика застосовується в багатьох областях науки, наприклад, в біології для розшифровки коду ДНК або на спортивних змаганнях для розрахунку кількості ігор між учасниками.
Вам знадобиться
  • калькулятор
Інструкція
1
Перестановки без повторень - це такі комбінації з n-го кількості різних елементів, в яких кількість елементів залишається рівним n, а порядок їх змінюється різними способами. P (n) = 1 * 2 * 3 * ... * n = n! ПрімерСколько перестановок можна скласти з цифр 5,8,9? З умови завдання n = 3 (три цифри 5,8,9). Скористаємося формулою для розрахунку можливої кількості перестановок без повторень: P_ (n) = n! Підставивши в формулу n = 3, отримаємо P = 3! = 1 * 2 * 3 = 6
2
Перестановки з повтореннями - це такі комбінації з n-го кількості елементів (у тому числі і повторюваних), в яких кількість елементів залишається рівним n, а порядок їх змінюється різними способамі.Рn = n!/N1! * N2 ! * ... * nk! де n - загальна кількість елементів, n1, n2 ... nk - кількість повторюваних елементів
3
Клавіші без повторень - це всі можливі комбінації (групи) з n різних елементів по m в кожній групі (m? N), які відрізняються один від одного тільки складом елементів (групи відрізняються один від одного хоча б одним елементом) .З = n!/m! (n - m)!
4
Сполучення з повтореннями - це всі можливі комбінації (групи) з n різних елементів по m кожній групі (m - будь-яке), причому допускається повторення одного елементу кілька разів (групи відрізняються один від одного хоча б одним елементом) С = (n + m - 1)!/m! (n-1)!
5
Розміщення без повторень - це всі можливі комбінації (групи) з n різних елементів по m в кожній групі (m? N), які різняться між собою як складом елементів, що входять в групи, так і їх порядком.А = n!/(n - m)!
6
Розміщення c повтореннями - це всі можливі комбінації (групи) з n різних елементів по m кожній групі (m - будь-яке), які розрізняються між собою як складом елементів, що входять в групи, так і їх порядком, в яких також допускається повторення елементов.А = n ^ m