Як визначити тип диференціального рівняння.

У математиці існує безліч різних типів рівнянь. Серед диференціальних також розрізняють кілька підвидів. Відрізнити їх можна по ряду істотних ознак, характерних для тієї чи іншої групи.
Вам знадобиться
  • - зошит;
  • - ручка
Інструкція
1
Якщо рівняння представлено у вигляді: dy/dx = q (x)/n (y), відносите їх до категорії диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними. Їх можна вирішити, записавши умову в дифференциалах за наступною схемою: n (y) dy = q (x) dx. Потім проінтегріруйте обидві частини. У деяких випадках рішення записується у вигляді інтегралів, взятих від відомих функцій. Наприклад, у разі dy/dx = x/y, вийде q (x) = x, n (y) = y. Запишіть його у вигляді ydy = xdx і проінтегріруйте. Має вийти y ^ 2 = x ^ 2 + c.
2
До лінійним рівнянням відносите рівняння «першого ступеня». Невідома функція з її похідними входить в подібне рівняння лише в першого ступеня. Лінійне диференціальне рівняння має вигляд dy/dx + f (x) = j (x), де f (x) і g (x) - функції, залежні від x. Рішення записується за допомогою інтегралів, взятих від відомих функцій.
3
Врахуйте, що багато диференціальні рівняння - це рівняння другого порядку (що містять другі похідні) Таким, наприклад, є рівняння простого гармонійного руху, записане у вигляді загальної формули: md 2x/dt 2 = -kx. Такі рівняння мають, в основному, приватні рішення. Рівняння простого гармонійного руху є прикладом досить важливого класу: лінійних диференціальних рівнянь, у яких є постійний коефіцієнт.
4
Розгляньте більш загальний приклад (другого порядку): рівняння, де у і z - є заданими постійними, f (x) - задана функція. Подібні рівняння можна вирішити різними способами, наприклад, за допомогою інтегрального перетворення. Це ж саме можна сказати і про лінійні рівняння вищих порядків, що мають постійні коефіцієнти.
5
Візьміть до відома, що рівняння, які містять невідомі функції, а також їх похідні, які стоять в ступені вище першої, називаються нелінійними. Рішення нелінійних рівнянь досить складні і тому, для кожного з них використовується свій окремий випадок.
Визначити вид диференціального рівняння необхідно для того, щоб підібрати відповідний кожному випадку спосіб вирішення. Класифікація видів досить велика, а рішення грунтується на методах інтегрування.
Інструкція
1
Необхідність в диференціальних рівняннях виникає тоді, коли відомі властивості функції, а сама вона залишається невідомою величиною. Часто така ситуація виникає при дослідженні фізичних процесів. Властивості функції описуються її похідними або диференціалом, тому єдиним способом її знаходження є інтегрування. Перш ніж приступати до вирішення, потрібно визначити вид диференціального рівняння.
2
Існує кілька видів диференціальних рівнянь, найпростішим з них є вираз у '= f (х), де у' = dу/dх. Крім того, до цього виду може бути приведене рівність f (х) • у '= g (х), тобто у '= g (х)/f (х). Зрозуміло, це можливо лише за умови, що f (х) не звертається в нуль. Приклад: 3 ^ х • у '= х? - 1? у '= (х? - 1)/3 ^ х.
3
Диференціальні рівняння з розділеними змінними називаються так тому, що похідна у 'в даному випадку буквально розділена на дві складові dу і dх, які знаходяться по різні сторони від знака одно. Це рівняння виду f (у) • dу = g (х) • dх. Приклад: (у? - Sin у) • dу = tg х/(х - 1) • dх.
4
Два описаних виду диференціальних рівнянь носять назву звичайних або скорочено ОДУ. Однак рівняння першого порядку можуть бути і більш складними, неоднорідними. Вони називаються ЛНДУ - лінійні неоднорідні рівняння у '+ f (х) • у = g (х) .До ЛНДУ належить, зокрема, рівняння Бернуллі у' + f (х) • у = g (х) • у ^ a. Приклад: 2 • у '- х? • у = (ln х/х?) • у ?. А також рівняння в повних диференціалах f (х, у) dх + g (х, у) dу = 0, де? FХ (х, у)/? У =? Gу (х, у)/? Х. Приклад: (х? - 2 • х • у) dх - х? Dу = 0, де х? - 2 • х • у - приватна похідна по х від функції? • х ^ 4 - х? • у + C, а (-х?) - Її приватна похідна за у.
5
Найпростішим видом ОДУ другого порядку є у '' + p • у '+ q • у = 0, де p і q - постійні коефіцієнти. ЛНДУ другого порядку - це ускладнена версія ОДУ, а саме у '' + p • у '+ q • у = f (х). Приклад: у '' - 5 • у '+ 13 • у = sin х. Якщо p і q - функції аргументу х, то рівняння може виглядати приблизно так: у '' - 5 • х? • у '+ 13 • (х - 1) • у = sin х.
6
Диференціальні рівняння вищих порядків підрозділяються на три підвиди: допускають зниження порядку, рівняння з постійними коефіцієнтами і з коефіцієнтами у вигляді функцій аргументу х: • Вираз f (х, у ^ (m), у ^ (m + 1) , ..., у ^ (n)) = 0 не містить похідних нижче порядку m, значить, через заміну z = у ^ (m) можна зменшити порядок. Тоді рівняння перетвориться в вид f (х, z, z ', ..., z ^ (n - m)) = 0. Приклад: у' '' • х - 4 • у? = У '- 2? z '' • х - 4 • у? = Z - 2, де z = у '= dу/dх; • ЛОДР у ^ (k) + p_ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 • у' + p0 • у = 0 і ЛНДУ у ^ (k) + p_ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 • у '+ p0 • у = f (х) з постійними коефіцієнтами pi. Приклади: у ^ (3) + 2 • у '' - 15 • у '+ 3 • у = 0 і у ^ (3) + 2 • у' '- 15 • у' + 3 • у = 2 • х? - Ln х; • ЛОДР у ^ (k) + p (х) _ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 (х) • у '+ p0 (х) • у = 0 і ЛНДУ у ^ (k) + p (х) _ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 (х) • у '+ p0 (х) • у = f (х) з коеффіціентамі- функціями pi (х). Приклади: у '' '+ 2 • х? • у' '- 15 • arсsin х • у' + 9 • х • у = 0 і у '' '+ 2 • х? • у' '- 15 • arcsin х • у '+ 9 • х • у = 2 • х? - Ln х.
7
Вид конкретного диференціального рівняння не завжди буває очевидним. Тоді слід уважно розглянути його на предмет приведення до одного з канонічних типів, щоб застосувати відповідний спосіб вирішення. Зробити це можна різними методами, найбільш поширеними з них є заміна і розкладання похідної на складові у '= dу/dх.