Як визначити, чи лежать точки на одній прямій.

Якщо вам дано дві точки , то ви можете сміливо заявити, що вони лежать на одній прямий, так як через будь-які дві точки можна провести пряму. Але як же з'ясувати, чи лежать всі точки на прямий, якщо точок три, чотири або більше? Довести приналежність точок одній прямий можна кількома способами.
Вам знадобиться
  • Точки, задані координатами.
Інструкція
1
Якщо вам дано точки з координатами (х1, у1, z1), (х2, у2, z2), (х3, у3, z3), знайдіть рівняння прямий, використовуючи координати будь-яких двох точок, наприклад, першої та другої. Для цього підставте відповідні значення в рівняння прямий: (х-х1)/(х2-х1) = (у-у1)/(у2-у1) = (z-z1)/(z2-z1 ). Якщо один з знаменників дорівнює нулю, просто прирівняти до нуля чисельник.
2
Знайти рівняння прямий, знаючи дві точки з координатами (х1, у1), (х2, у2), ще простіше. Для цього підставте значення в формулу (х-х1)/(х2-х1) = (у-у1)/(у2-у1).
3
Отримавши рівняння прямий, що проходить через дві точки , підставте значення координат третьої точки в нього замість змінних х і у. Якщо рівність вийшло вірне, значить всі три точки лежать на одній прямий. Точно так само можете перевіряти приналежність цієї прямий інших точок.
4
Перевірте належність усіх точок прямий, перевіривши рівність тангенсов кутів нахилу з'єднують їх відрізків. Для цього перевірте, чи буде вірним рівність (х2-х1)/(х3-х1) = (у2-у1)/(у3-у1) = (z2-z1)/(z3-z1). Якщо один з знаменників дорівнює нулю, то для приналежності усіх точок однієї прямий повинна виконуватися умова х2-х1 = х3-х1, у2-у1 = у3-в1, z2-z1 = z3-z1.
5
Ще один спосіб перевірити приналежність трьох точок прямий - порахуйте площа трикутника, який вони утворюють. Якщо все точки лежать на прямий, то його площа буде дорівнює нулю. Підставте значення координат у формулу: S = 1/2 ((х1-х3) (у2-у3) - (х2-х3) (у1-у3)). Якщо після всіх обчислень ви отримали нуль - значить, три точки лежать на одній прямий.
6
Щоб знайти рішення задачі графічним способом, побудуйте координатні площини і знайдіть точки за вказаними координатами. Потім проведіть пряму через дві з них і продовжите до третьої точки , подивіться, чи пройде вона через неї. Врахуйте, цей спосіб підходить тільки для точок, заданих на площині з координатами (х, у), якщо ж точка задана в просторі і має координати (х, у, z), то такий спосіб непридатний.
На підставі аксіоми, що описує властивості прямий : яка б не була пряма, є точки, що належать і не належать їй. Тому цілком логічно, що не всі точки будуть лежати на одній прямий лінії.
Вам знадобиться
  • - олівець;
  • - лінійка;
  • - ручка;
  • - зошит;
  • - калькулятор.
Інструкція
1
Перевірити належність точки тій чи іншій прямий досить просто. Використовуйте для цього рівняння прямий . Отже, припустимо, що пряма проходить через точки А (x1, y1) і В (x2, y2). Дана точка К (x, y): потрібно перевірити її приналежність прямий . Рівняння лінії по двох точках має наступний вигляд: (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0.
2
Підставте значення координат точки До в рівняння. Якщо (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) виявиться більше нуля, то точка К розташована правіше або нижче прямий , проведеної по точках А і В .
3
У тому випадку, якщо (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) буде менше нуля, точка К розташовується вище або лівіше лінії. Іншими словами, тільки в тому випадку, якщо рівняння виду (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 справедливо, точки А, В і До будуть розташовані на одній прямий .
4
В інших випадках лише дві точки (А і В), які, за умовою завдання, лежать на прямий , будуть їй належати: через третю точку (точку К) пряма проходити не буде.
5
Розгляньте другий варіант визначення приналежності точки примою: на цей раз потрібно перевірити чи належить точка С (x, y) відрізку з кінцевими точками В (x1, y1) і А (x2, y2 ), який є частиною прямий z.
6
Точки розглянутого відрізка опишіть рівнянням pOB + (1-p) OА = z, за умови, що 0? P? 1. ОВ і ОА є векторами. Якщо є таке число p, яке більше або дорівнює 0, але менше або дорівнює 1, то pOB + (1-p) OА = С, а значить, точка С лежатиме на відрізку АВ. В іншому випадку, дана точка не належатиме цьому відрізку.
7
Розпишіть рівність pOB + (1-p) OА = С покоординатно: px1 + (1-p) x2 = x і py1 + (1-p) y2 = y.
8
Знайдіть з першого рівняння число р і підставте його значення у друге рівність. Якщо рівність буде відповідати умовам 0? P? 1, то точка С належить відрізку АВ.
9
Побудуйте точки за заданими координатами і проведіть через них пряму. Це дозволить побачити точки, що лежать на одній прямий , і ті точки, що не належать їй.
Зверніть увагу
Переконайтеся в правильності розрахунків!
Корисна порада
Щоб знайти k - кутовий коефіцієнт прямої, потрібно (y2 - y1)/(x2 - x1).