Як знайти вектор нормалі.

Завдання пошуку вектора нормалі прямої на площині і площині в просторі занадто проста. Фактично вона завершується записом загальних рівнянь прямої або площини. Оскільки крива на площині всього лише окремий випадок поверхні в просторі, то саме про нормаллю до поверхні і піде мова.
Інструкція
1
Перший спосіб Цей спосіб найпростіший, але для його розуміння потрібно знання поняття скалярного поля. Втім, і недосвідчений у цьому питанні читач зможе використовувати результуючі формули даного питання.
2
Відомо, що скалярний поле f задається як f = f (x, y, z), а будь-яка поверхня при цьому - це поверхня рівня f (x, y, z) = C (C = const). Крім того, нормаль поверхні рівня збігається з градієнтом скалярного поля в заданій точці.
3
Градієнтом скалярно поля (функції трьох змінних) називається вектор g = gradf = iдf/дx + jдf/дy + kдf/дz = {Дf/дx, Дf/дy, Дf/дz}. Так як довжина нормалі значення не має, залишається лише записати відповідь. Нормаль до поверхностіf (x, y, z) -C = 0 в точкеM0 (x0, y0, z0) n = gradf = iдf/дx + jдf/дy + kдf/дz = {Дf/дx, Дf/дy, Дf/дz}.
4
Другий спосіб Нехай поверхня задана рівнянням F (x, y, z) = 0. Щоб можна було в подальшому провести аналогії з першим способом, слід враховувати, що похідна постійної дорівнює нулю, і F задається як f (x, y, z) -C = 0 (C = const). Якщо провести розтин цієї поверхні довільної площиною, то виникла просторову криву можна вважати годографом якої-небудь вектор-функції r (t) = ix (t) x + jy (t) + kz (t). Тоді похідна вектора r '(t) = ix' (t) + jy '(t) + kz' (t) спрямована по дотичній в деякій точці M0 (x0, y0, z0) поверхні (див . рис.1).
5
Щоб не виникло плутанини, поточні координати дотичної прямої слід позначити, наприклад, курсивом (x, y, z). Канонічні рівняння дотичної прямої, з урахуванням, що r '(t0) - направляючий вектор, записується як (xx (t0))/(dx (t0)/dt) = (yy (t0))/(dy (t0)/dt ) = (zz (t0))/(dz (t0)/dt).
6
Підставивши координати вектор-функції в рівняння поверхні f (x, y, z) -C = 0 і продифференцировав по t ви отримаєте (Дf/дx) (дx/дt) + (Дf/дy) (дy/дt) + (Дf/дz) (дz/дt) = 0. Рівність являє собою скалярний добуток деякого вектора n (Дf/дx, Дf/дy, Дf/дz) і r '(x' (t), y '(t), z' (t)) . Так як воно дорівнює нулю, то n (Дf/дx, Дf/дy, Дf/дz) і є шуканий вектор нормалі. Очевидно, що результати обох способів ідентичні.
7
Приклад (має теоретичне значення). Знайти вектор нормалі до поверхні заданої класичним рівнянням функції двох змінних z = z (x, y). Рішення. Перепишіть це рівняння у формі zz (x, y) = F (x, y, z) = 0. Слідуючи будь-якого з прийменникових способів, виходить, що n (-дz/дx, -дz/дy, 1) - шуканий вектор нормалі.
Під математичним терміном нормаль ховається більш звичне на слух поняття перпендикуляра. Тобто завдання знаходження нормалі увазі пошук рівняння прямої, перпендикулярної до заданої кривої або поверхні, що проходить через певну точку. Залежно від того, на площині або в просторі потрібно знайти нормаль , дана завдання вирішується по-різному. Розглянемо обидва варіанти завдання.
Вам знадобиться
  • вміння знаходити похідні функції, уміння знаходити приватні похідні функції декількох змінних
Інструкція
1
Нормаль до кривої, заданої на площині у вигляді рівняння у = f (x) .Находім значення функції, яка визначає рівняння даної кривої в точці, в якій шукається рівняння нормалі: а = f (x0). Знаходимо похідну до даної функції: f '(x). Шукаємо значення похідної в цій же точці: B = f '(x0). Обчислюємо значення наступного виразу: C = a - B * x0. Складаємо рівняння нормалі, яке матиме вигляд: у = B * x + C.
2
Нормаль до поверхні або кривої, заданої в просторі у вигляді рівняння f = f (x, y, z) .Находім приватні похідні до даної нам функції: f'x (x, y, z), f'y (x, y, z), f'z (x, y, z). Шукаємо значення цих похідних в точці М (x0, y0, z0) - точка, в якій треба знайти рівняння нормалі до поверхні або просторової кривої: A = f'x (x0, y0, z0), B = f'y (x0, y0, z0), C = f'z (x0, y0, z0). Складаємо рівняння нормалі, яке матиме вигляд: (x - x0)/A = (y - y0)/B = (z - z0)/C
3
Приклад: Знайдемо рівняння нормалі до функції у = х - х ^ 2 у точці х = 1.Значеніе функції в даній точці а = 1 - 1 = 0.Проізводная до функції у '= 1 - 2х, в даній точці В = у '(1) = -1.Вичісляем С = 0 - (-1) * 1 = 1.Іскомое рівняння нормалі має вигляд: у = -х + 1
Корисна порада
Приватні похідні будь-якої функції нескладно знайти, уявивши, що всі змінні, крім тієї яка є досліджуваній - константи.