Як знаходити інтеграл.

Поняття інтеграла прямо пов'язане з поняттям первісної функції. Іншими словами, щоб знайти інтеграл зазначеної функції, потрібно знайти таку функцію, по відношенню до якої вихідна буде похідною.
Інструкція
1
Інтеграл відноситься до понять математичного аналізу і графічно являє собою площу криволінійної трапеції, обмеженою на осі абсцис граничними точками інтегрування. Знаходити інтеграл функції значно складніше, ніж шукати її похідну.
2
Існує кілька методів обчислення невизначеного інтеграла : безпосереднє інтегрування, введення під знак диференціала, метод підстановки, інтегрування по частинах, підстановка Вейерштраса, теорема Ньютона-Лейбніца і ін.
3
Безпосереднє інтегрування передбачає приведення за допомогою простих перетворень вихідного інтеграла до табличному значенню. Наприклад:? Dy/(sin? Y · cos? Y) =? (Cos? Y + sin? Y)/(sin? Y · cos? Y) dy =? Dy/sin? Y +? Dy/cos? Y = -ctgy + tgy + C.
4
Метод введення під знак диференціала або заміна змінної являє собою постановку нової змінної. При цьому вихідний інтеграл зводиться до нового інтегралу, який можна перетворити до табличному увазі методом безпосереднього інтегрування: Нехай є інтеграл? F (y) dy = F (y) + C і деяка змінна v = g (y), тоді:? F ( y) dy ->? f (v) dv = F (v) + C.
5
Слід запам'ятати деякі найпростіші підстановки для полегшення роботи з цим методом: dy = d (y + b); ydy = 1/2 · d (y? + B); sinydy = - d (cosy); cosydy = d (siny).
6
Приклад:? Dy/(1 + 4 · y?) =? Dy/(1 + (2 · y)?) = [Dy -> d (2 · y)] = 1/2 ·? d (2 · y)/(1 + (2 · y)?) = 1/2 · arctg2 · y + C.
7
Інтегрування по частинах проводиться за такою формулою:? Udv = u · v -? Vdu.Прімер:? Y · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) -? (- cosy) dy = -y · cosy + siny + C.
8
Певний інтеграл в більшості випадків знаходиться за теоремою Ньютона-Лейбніца:? F (y) dy на інтервалі [a; b] дорівнює F (b) - F (a) .Приклад: Знайдіть? y · sinydy на інтервалі [0; 2?] :? Y · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) -? (- cosy) dy = (-2? · cos2? + sin2?) - (-0 · cos0 + sin0) = -2?.
Відео по темі
 http://www.youtube.com/watch?v=hDvQrIrFU4U
Интегральное числення є частиною математичного аналізу, основні поняття якого - первообразная функція і інтеграл, його властивості та методи обчислення. Геометричний сенс цих розрахунків - знаходження площі криволінійної трапеції, обмеженою межами інтегрування.
Інструкція
1
Як правило, обчислення інтеграла зводиться до того, щоб привести підінтегральний вираз до табличного виду. Існує безліч табличних інтегралів, яке полегшує вирішення таких завдань.
2
Є кілька способів привести інтеграл до зручного виду: безпосереднє інтегрування, інтегрування по частинах, метод підстановки, введення під знак диференціала, підстановка Вейєрштрасса та ін.
3
Метод безпосереднього інтегрування - це послідовне приведення інтеграла до табличного виду за допомогою елементарних перетворень:? Соs? (Х/2) dх = 1/2 •? (1 + соs х) dх = 1/2 •? Dх + 1/2 •? Соs xdх = 1/2 • (х + sin х) + С, де C - константа.
4
Інтеграл має безліч можливих значень виходячи з властивості первісної, а саме наявності сумовною константи. Таким чином, знайдене в прикладі рішення є спільним. Приватним рішенням інтеграла називається загальне при певному значенні постійної, наприклад, С = 0.
5
Інтегрування по частинах застосовується, коли підінтегральний вираз являє собою твір алгебраїчної і трансцендентної функцій. Формула методу:? Udv = u • v -? Vdu.
6
Оскільки позиції множників в твори значення не мають, то в якості функції u краще вибрати ту частину виразу, яка після диференціювання спрощується. Приклад:? X · ln xdx = [u = ln x; v = x; dv = xdx] = x?/2 · ln x -? x?/2 · dx/x = x?/2 · ln x - x?/4 + C.
7
Введення нової змінної - це прийом методу підстановки. При цьому змінюється і сама подинтегральная функції, і її аргумент:? X ·? (X - 2) dx = [t = x-2? x = t? +2? dx = 2 · tdt] =? (t? + 2) · t · 2 · tdt =? (2 · t ^ 4 + 4 · t?) dt = 2 · t ^ 5/5 + 4 · t?/3 + C = [x = t? +2] = 2/5 · (x - 2) ^ (5/2) + 4/3 · (x - 2) ^ (3/2) + C.
8
Метод введення під знак диференціала передбачає перехід до нової функції. Нехай? F (x) = F (x) + C і u = g (x), тоді? F (u) du = F (u) + C [g '(x) = dg (x)]. Приклад:? (2 · x + 3)? Dx = [dx = 1/2 · d (2 · x + 3)] = 1/2 ·? (2 · x + 3)? D (2 · x + 3 ) = 1/6 · (2 · x + 3)? + C.