Як визначити точки розриву функції.

Щоб визначити точку розриву функції, необхідно дослідити її на безперервність. Це поняття, у свою чергу, пов'язано з перебуванням лівостороннього і правостороннього меж в цій точці.
Інструкція
1
Точка розриву на графіку функції виникає тоді, коли в ній порушується безперервність функції. Для того, щоб функція була неперервною, необхідно і достатньо, щоб його лівобічний і правобічний межі в цій точці були рівні між собою і збігалися зі значенням самої функції.
2
Існує два типи точок розриву - першого і другого роду. У свою чергу, точки розриву першого роду бувають переборні і непереборні. Усувний розрив з'являється, коли односторонні межі рівні між собою, але не збігаються зі значенням функції в цій точці.
3
І навпаки, він є непереборним, коли межі не рівні між собою. У цьому випадку точка розриву першого роду називається стрибком. Розрив другого роду характеризується нескінченним або не існуючим значенням як мінімум одного з односторонніх меж.
4
Щоб дослідити функцію на точки розриву і визначити їх рід, розділіть задачу на кілька етапів: знайдіть область визначення функції, визначте межі функції зліва і справа, порівняйте їх значення зі значенням функції, визначте тип і рід розриву.
5
Прімер.Найдіте точки розриву функції f (x) = (x? - 25)/(x - 5) і визначте їх тип.
6
Решеніе.1. Знайдіть область визначення функції. Очевидно, що безліч її значень нескінченно за винятком точки x_0 = 5, тобто x? (- ?; 5)? (5; +?). Отже, точкою розриву приблизно може бути тільки вона; 2. Обчисліть односторонні межі. Вихідну функцію можна спростити до вигляду f (x) -> g (x) = (x + 5). Неважко побачити, що ця функція неперервна при будь-якому значенні x, тому її односторонні межі рівні між собою: lim (x + 5) = 5 + 5 = 10.
7
3. Визначте, чи збігаються значення односторонніх меж і функції в точці x_0 = 5: f (x) = (x? - 25)/(x - 5). Функція не може бути визначена в цій точці, тому що тоді знаменник звернеться в нуль. Отже, в точці x_0 = 5 функція має усувний розрив першого роду.
8
Розрив другого роду називається нескінченним. Наприклад, знайдіть точки розриву функції f (x) = 1/x і визначте їх тіп.Решеніе.1. Область визначення функції: x? (- ?; 0)? (0; +?); 2. Очевидно, що лівобічний межа функції прагне до - ?, а правобічний - до + ?. Отже, точка x_0 = 0 є точкою розриву другого роду.