Як знайти координати точки перетину двох прямих.

Якщо дві прямі не паралельні, то вони обов'язково перетнуться в одній точці. Знайти координати точки перетину двох прямих можна як графічним, так і арифметичним способом, в залежності від того, які дані надає задача.
Вам знадобиться
  • - дві прямі на кресленні;
  • - рівняння двох прямих.
Інструкція
1
Якщо прямі вже накреслені на графіку, знайдіть рішення графічним способом. Для цього продовжите обидві або одну з прямих так, щоб вони перетнулися. Потім відзначте точку перетину і опустіть з неї перпендикуляр на вісь абсцис (як правило, ох).
2
За допомогою шкали поділок, відзначених на осі, знайдіть значення х для цієї точки. Якщо вона знаходиться на позитивному напрямі осі (праворуч від нульової позначки), то її значення буде позитивним, в іншому випадку - негативним.
3
Точно також знайдіть ординату точки перетину. Якщо проекція точки розташована вище нульової позначки - вона позитивна, якщо нижче - негативна. Запишіть координати точки в вигляді (х, у) - це і є рішення задачі.
4
Якщо прямі задані у вигляді формул у = KХ + b, ви можете також вирішити задачу графічним способом: накресліть прямі на координатній сітці і знайдіть рішення описаним вище способом.
5
Спробуйте знайти рішення задачі, використовуючи дані формули. Для цього складіть з цих рівнянь систему і вирішіть її. Якщо рівняння дано у вигляді у = KХ + b, просто прирівняти обидві частини з х і знайдіть х. Потім підставте значення х в одне з рівнянь і знайдіть у.
6
Можна знайти рішення способом Крамера. В такому випадку приведіть рівняння до виду А1х + В1у + С1 = 0 і А2х + В2у + С2 = 0. Відповідно до формули Крамера х = - (С1В2-С2В1)/(А1В2-А2В1), а у = - (А1C2-А2С1)/(А1В2-А2В1). Зверніть увагу, якщо знаменник дорівнює нулю, то прямі паралельні або збігаються і, відповідно, не перетинаються.
7
Якщо вам дано прямі в просторі в канонічному вигляді, перед тим, як почати пошук рішення, перевірте, не паралельні чи прямі. Для цього оцініть коефіцієнти перед t, якщо вони пропорційні, наприклад, x = -1 + 3t, y = 7 + 2t, z = 2 + t і x = -1 + 6t, y = -1 + 4t, z = -5 + 2t, то прямі паралельні. Крім того, прямі можуть схрещуватися, в цьому випадку система не матиме рішення.
8
Якщо ви з'ясували, що прямі перетинаються, знайдіть точку їх перетину. Спочатку прирівняти змінні з різних прямих, умовно замінивши t на u для першої прямої і на v для другої прямої. Наприклад, якщо вам дано прямі x = t-1, y = 2t + 1, z = t + 2 і x = t + 1, y = t + 1, z = 2t + 8 ви отримаєте вирази типу u-1 = v +1, 2u + 1 = v + 1, u + 2 = 2v + 8.
9
Висловіть з одного рівняння u, підставте в інше і знайдіть v (в даній задачі u = -2, v = -4). Тепер, щоб знайти точку перетину, підставте отримані значення замість t (без різниці, в перше або друге рівняння) і отримаєте координати точки x = -3, y = -3, z = 0.
Відео по темі
 http://www.youtube.com/watch?v=d4IHv-AuLcw
Для розгляду двох пересічних прямих досить розгляду їх в площині, тому що дві пересічні прямі лежать в одній площині. Знаючи рівняння цих прямих , можна знайти координату їх точки перетину.
Вам знадобиться
  • рівняння прямих
Інструкція
1
В декартових координатах загальне рівняння прямої виглідіт так: Ax + By + C = 0. Нехай дві прямі перетинаються. Рівняння першої прямої має вигляд Ax + By + C = 0, другий прямий - Dx + Ey + F = 0. Усі коефіцієнти (A, B, C, D, E, F) повинні бути задани.Чтоби знайти точку перетину цих прямих потрібно вирішити систему цих двох лінійних рівнянь.
2
Для вирішення перше рівняння зручно помножити на E, а друге - на B. В результаті рівняння матимуть вигляд: AEx + BEy + CE = 0, DBx + EBy + FB = 0. Після вирахування другого рівняння з першого, вийде: (AE-DB) x = FB-CE. Звідси, x = (FB-CE)/(AE-DB) .За аналогією перше рівняння вихідної системи можна помножити на D, друге - на A, потім знову з першого відняти другого. В результаті, y = (CD-FA)/(AE-DB) Отримані значення x і y і будуть координатами точки перетину прямих .
3
Рівняння прямих також можуть записуватися через кутовий коефіцієнт k, рівний тангенсу кута нахилу прямої. В цьому випадку рівняння прямої має вигляд y = kx + b. Нехай тепер рівняння першої прямої - y = k1 * x + b1, а другий прямий - y = k2 * x + b2.
4
Якщо прирівняти праві частини цих двох рівнянь, то вийде: k1 * x + b1 = k2 * x + b2. Звідси легко отримати, що x = (b1-b2)/(k2-k1). Після підстановки цього значення x в будь-яке з рівнянь, вийде: y = (k2 * b1-k1 * b2)/(k2-k1). Значення x і y будуть задавати координати точки перетину прямих .У випадку, якщо дві прямі паралельні або співпадають, то вони не мають спільних точок або мають нескінченно багато спільних точок відповідно. У цих випадках k1 = k2, знаменники для координат точок перетину звертатимуться в нуль, отже, система не матиме класичного решенія.Сістема може мати тільки одне класичне рішення, що природно, оскільки дві незбіжні і не паралельні один одному прямі можуть мати тільки одну точку перетину.