Як скласти рівняння площини через точку і пряму. рівняння виду y2 + x2 + z2.

Будь площину може бути задана лінійним рівнянням Ax + By + Cz + D = 0. Назад, кожне таке рівняння визначає площину. Щоб скласти рівняння площині, що проходить через точку і пряму, треба знати координати точки і рівняння прямої.
Вам знадобиться
  • - координати точки;
  • - рівняння прямої.
Інструкція
1
Рівняння прямої, що проходить через дві точки з координатами (x1, y1, z1) і (x2, y2, z2), має вигляд: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1). Відповідно, з рівняння (x-x0)/A = (y-y0)/B = (z-z0)/C легко можна виділити координати двох точок.
2
З трьох точок площини можна скласти рівняння, однозначно задає площину. Нехай є три точки з координатами (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3). Запишіть детермінант: (x-x1) (y-y1) (z-z1) (x2-x1) (y2-y1) (z2-z1) (x3-x1) (y3-y1) (z3-z1) Прирівняти визначник нулю. Це і буде рівняння площини. Його можна залишити і в такому вигляді, а можна розписати, розкривши детерминант:(x-x1)(y2-y1)(z3-z1)+(x3-x1)(y-y1)(z2-z1)+(z-z1)(x2-x1)(y3-y1)-(z-z1)(y2-y1)(x3-x1)-(z3-z1)(y-y1)(x2-x1)-(x-x1)(z2-z1)(y3-y1). Робота копітка і, як правило, зайва, адже простіше згадати про властивості визначника, рівного нулю.
3
Приклад. Складіть рівняння площини, якщо відомо, що вона проходить через точку M (2,3,4) і пряму (x-1)/3 = y/5 = (z -2)/4. Рішення. Спочатку треба перетворити рівняння прямої. (x-1)/(4-1) = (y-0)/(5-0) = (z-2)/(6-2). Звідси легко виділити дві точки, явно належать даній прямій. Це (1,0,2) і (4,5,6). Все, три точки є, можна складати рівняння площини. (X-1) (y-0) (z-2) (4-1) (5-0) (6-2) (2-1) (3-0 ) (4-2) Детермінант залишилося прирівняти нулю і спростити.
4
Разом: (x-1) y (z-2) 3 5 41 3 2 =(x-1)·5·2+1·y·4+(z-2)·3·3-(z-2)·5·1-(x-1)·4·3-2·y·3=10x-10+4y+9z-18-5z+10-12x+12-6y=-2x-2y+4z-6=0.Ответ. Шукане рівняння площини -2x-2y + 4z-6 = 0.
Корисна порада
Площина і пряму можна задати також канонічним, параметрическим, векторно-параметричних і нормальним рівнянням. Пряма може бути задана також у відрізках і через кутовий коефіцієнт. Всі способи завдання можуть бути переведені з одного в інший.