Як знайти площу фігури обмеженою лініями. знайти площу фігури обмеженою прямими лініями.

Геометричний зміст визначеного інтеграла - площа криволінійної трапеції. Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями, застосовується одна з властивостей інтеграла, яке полягає в адитивності площ, інтегровних на одному і тому ж відрізку функцій.
Інструкція
1
За визначенням інтеграла, він дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком заданої функції. Коли потрібно знайти площу фігури, обмеженої лініями, йдеться про криві, заданих на графіку двома функціями f1 (x) і f2 (x).
2
Нехай на деякому інтервалі [a, b] задані дві функції, які визначені і безперервні. Причому одна з функцій графіку розташована вище іншої. Таким чином, утворюється візуальна фігура, обмежена лініями функцій і прямими x = a, x = b.
3
Тоді площа фігури можна виразити формулою, що інтегрує різницю функцій на інтервалі [a, b]. Обчислення інтеграла виробляється за законом Ньютона-Лейбніца, згідно з яким результат дорівнює різниці первісної функції від граничних значень інтервалу.
4
Прімер1.Найті площа фігури, обмеженої прямими лініями y = -1/3 · x -?, X = 1, x = 4 і параболою y = -x? + 6 · x - 5.
5
Решеніе.Постройте графіки всіх ліній. Ви можете побачити, що лінія параболи знаходиться вище прямої y = -1/3 · x -?. Отже, під знаком інтеграла в даному випадку повинна стояти різницю між рівнянням параболи і заданої прямої. Інтервал інтегрування, відповідно, знаходиться між точками x = 1 і x = 4: S =? (- X? + 6 · x - 5 - (-1/3 · x - 1/2)) dx = (-x? + 19/3 · x - 9/2) dx на відрізку [1, 4].
6
Знайдіть первообразную для отриманого подинтегрального вирази: F (-x? + 19/3x - 9/2) = -1/3x? + 19/6x? - 9/2x.
7
Підставте значення кінців відрізка: S = (-1/3 · 4? + 19/6 · 4? - 9/2 · 4) - (-1/3 · 1? + 19/6 · 1? - 9/2 · 1) = 13.
8
Прімер2.Вичісліте площа фігури, обмеженої лініями y =? (X + 2), y = x і прямий x = 7.
9
Решеніе.Ета задача є більш складною у порівнянні з попередньою, оскільки в ній немає другої прямої, паралельної осі абсцис. Це значить, що друге граничне значення інтеграла невизначено. Отже, його потрібно знайти з графіка. Побудуйте задані лінії.
10
Ви побачите, то пряма лінія y = x проходить діагонально щодо координатних осей. А графік функції кореня - це позитивна половина параболи. Очевидно, що лінії на графіку перетинаються, тому точка перетину і буде нижньою межею інтегрування.
11
Знайдіть точку перетину, вирішивши рівняння: x =? (X + 2)? x? = X + 2 [x? -2]? x? - X - 2 = 0.
12
Визначте коріння квадратного рівняння за допомогою дискриминанта: D = 9? x1 = 2; x2 = -1.
13
Очевидно, що значення -1 не підходить, оскільки абсциса струми перетину - позитивна величина. Отже, другий межа інтегрування x = 2. Функція y = x на графіку вище функції y =? (X + 2), тому в інтегралі вона буде первой.Проінтегріруйте вийшло вираз на інтервалі [2, 7] і знайдіть площу фігури: S = ? (x -? (x + 2)) dx = (x?/2 - 2/3 · (x + 2) ^ (3/2)).
14
Підставте інтервальні значення: S = (7?/2 - 2/3 · 9 ^ (3/2)) - (2?/2 - 2/3 · 4 ^ (3/2)) = 59/6.