Як побудувати поліном.

В поставленому питанні відсутні відомості про необхідну поліномі . Взагалі-то, поліном є звичайним многочленом виду Pn (x) = Cnx ^ n + C (n-1) x ^ (n-1) + ... + C1x + C0. У даній статті буде розглянуто многочлен Тейлора.
Інструкція
1
Нехай функція y = f (x) має в точці a похідні до n-го порядку включно. Многочлен слід шукати у вигляді: Тn (x) = C0 + C1 (xa) + C2 (xa) ^ 2 + C3 (xa) ^ 3 + ... + C (n-2) (xa) ^ 2 + C1 (xa) + C0, (1) значення якого в х = а збігаються з f (a). f (a) = Tn (a), f '(a) = T'n (a), f' '(a) = T''n (a), ..., f ^ (n) (a) = ( T ^ n) n (a). (2) Для знаходження многочлена потрібно визначити його коефіцієнти Сi. За формулою (1) значення многочлена Tn (x) в точці a: Tn (a) = C0. При цьому з (2) випливає f (a) = Tn (a), тому С0 = f (a). Тут f ^ n і T ^ n n-е похідні.
2
Дифференцируя рівність (1), знайдіть значення похідної Т'n (x) в точці a: Т'n (x) = С1 + 2С2 (xa) + 3C3 (xa) ^ 2 + ... + nCn (xa ) ^ (n-1), f '(a) = T'n (a) = С1. Таким чином, С1 = f '(a). Тепер продіфференціруйте (1) ще раз і покладіть в похідній T''n (х) в точці х = а. Т''n (x) = 2С2 + 3C3 (xa) + 4C4 (xa) ^ 2 + ... + n (n-1) Cn (xa) ^ (n-2), f '(a) = T'n (a) = С2. Таким чином, С2 = f '' (a). Повторіть дії ще раз і знайдіть С3.Т '' 'n (x) = (2) (3C3 (xa) +3 (4) C4 (xa) ^ 2 + ... + n (n-1) (na) Cn ( xa) ^ (n-3), f '' '(a) = T' '' n (a) = 2 (3) С2. Таким чином, 1 * 2 * 3 * С3 = 3! C3 = f '' '(a). C3 = f' '' (a)/3!
3
Процес слід продовжувати аж до n-й похідної, де отримаєте: (T ^ n) n (х) = 1 * 2 * 3 * ... (n-1) * nСn = n! C3 = f ^ n (a). Cn = f ^ (n) (a)/n!.Такім чином, шуканий многочлен має вигляд: Тn (x) = f (a) + f '(a) (xa) + (f' '(a)/2 ) (xa) ^ 2 + (f '' '(a)/3!) (xa) ^ 3 + ... + (f ^ (n) (a)/n!) (xa) ^ n. Цей многочлен називається многочленом Тейлора функції f (x) за ступенями (xa). Многочлен Тейлора має властивість (2).
4
Приклад. Уявити многочлен P (x) = x ^ 5-3x ^ 4 + 4x ^ 2 + 2x -6 полиномом третього порядку Т3 (х) за ступенями (х + 1) .Рішення. Слід шукати рішення у вигляді Т3 (х) = С3 (x + 1) ^ 3 + С2 (x + 1) ^ 2 + С1 (x + 1) + С0. а = -1. Коефіцієнти розкладання шукайте на основі отриманих формул.C0 = P (-1) = - 8, C1 = P '(- 1) = 5 (-1) ^ 4-12 (-1) ^ 3 + 8 (-1) + 2 = 11, C2 = (1/2) P '' (- 1) = (1/2) (20 (-1) ^ 3-36 (-1) ^ 2-8) = - 32, C3 = ( 1/6) P '' '(- 1) = (1/6) (60 (-1) ^ 2-72 (-1)) = 22. Відповідь. Відповідний поліном 22 (x + 1) ^ 3-32 (x + 1) ^ 2 + 11 (x + 1) -8.