Як знайти градієнт функції.

Градієнт функції - векторна величина, знаходження якої пов'язане з визначенням приватних похідних функції. Напрямок градієнта вказує шлях якнайшвидшого зростання функції від однієї точки скалярного поля до іншої.
Інструкція
1
Для вирішення завдання на градієнт функції використовуються методи диференціального числення, а саме знаходження приватних похідних першого порядку за трьома змінним. При цьому передбачається, що сама функція і всі її приватні похідні мають властивість безперервності в області визначення функції.
2
Градієнт - це вектор, напрям якого вказує напрямок максимально швидкого зростання функції F. Для цього на графіку обираються дві точки M0 і M1, які є кінцями вектора. Величина градієнта дорівнює швидкості зростання функції від точки M0 до точки M1.
3
Функція дифференцируема у всіх точках цього вектора, отже, проекціями вектора на координатних осях є всі її приватні похідні. Тоді формула градієнта виглядає наступним чином: grad = (? F/? Х) • i + (? F/? Y) • j + (? F/? Z) • k, де i, j, k - координати одиничного вектора. Іншими словами, градієнт функції - це вектор, координатами якого є її приватні похідні grad F = (? F/? Х,? F/? Y,? F/? Z).
4
Прімер1.Пусть задана функція F = sin (х • z?)/Y. Потрібно знайти її грaдіент в точці (?/6, 1/4, 1).
5
Решеніе.Определіте приватні похідні по кожній змінної: F'_х = 1/y • соs (х • z?) • z?; F'_y = sin (х • z?) • (-1) • 1/(y?); F'_z = 1/y • соs (х • z?) • 2 • х • z.
6
Підставте відомі значення координат точки: F'_x = 4 • соs (?/6) = 2 •? 3; F'_y = sin (?/6) • (-1) • 16 = -8; F'_z = 4 • соs (?/6) • 2 •?/6 = 2 •?/? 3.
7
Застосуйте формулу градієнта функції: grаd F = 2 •? 3 • i - 8 • j + 2 •?/? 3 • k.
8
Прімер2.Найдіте координати градієнта функції F = y • arсtg (z/x) в точці (1, 2, 1).
9
Решеніе.F'_х = 0 • аrсtg (z/х) + y • (аrсtg (z/х)) '_ х = y • 1/(1 + (z/х)?) • (- z/х?) = -y • z/(х? • (1 + (z/х)?)) = -1; F'_y = 1 • аrсtg (z/х) = аrсtg 1 =?/4; F'_z = 0 • аrсtg (z/х) + y • (аrсtg (z/х)) '_ z = y • 1/(1 + (z/х)?) • 1/х = y/(х • (1 + (z/х)?)) = 1.grаd = (-1,?/4, 1).
Відео по темі
 http://www.youtube.com/watch?v=JB1yBuSiMOM