Як знайти координати вектора в базисі. Як знайти базис перетину.

Пара точок називається впорядкованою, якщо про них відомо, яка з точок є першою, а яка - другий. Відрізок з впорядкованими кінцями називається спрямованим відрізком або вектором. Базисом у векторному просторі називається така упорядкована лінійно незалежна система векторів, що будь-який вектор простору розкладається по ній. Коефіцієнти при даному розкладанні є координатами вектора в цьому базисі.
Інструкція
1
Нехай є система векторів a1, a2, ..., ak. Вона лінійно незалежна, коли нульовий вектор розкладається по ній єдиним чином. Іншими словами, тільки тривіальна комбінація цих векторів дасть своїм результатом нульовий вектор. Тривіальне розкладання передбачає рівність нулю всіх коефіцієнтів.
2
Система, що складається з одного ненульового вектора, завжди лінійно незалежна. Система з двох векторів лінійно незалежна, якщо вони не колінеарні. Щоб система з трьох векторів була лінійно незалежною, необхідно, щоб вони були некомпланарних. З чотирьох і більше векторів вже неможливо скласти лінійно незалежну систему.
3
Таким чином, в нульовому просторі базису немає. В одновимірному просторі базисом може бути будь-який ненульовий вектор. В просторі розмірністю два базисом може стати будь-яка упорядкована пара неколінеарних векторів. Нарешті, упорядкована трійка некомпланарних векторів сформує базис для тривимірного простору.
4
Вектор можна розкласти по базису, наприклад, p =? 1 • a1 +? 2 • a2 + ... +? K • ak. Коефіцієнти при розкладанні? 1, ...,? K є координатами вектора в цьому базисі. Іноді вони називаються також компонентами вектора. Оскільки базис являють собою лінійно незалежну систему, коефіцієнти розкладання визначені однозначно і єдиним чином.
5
Нехай є базис, що складається з одного вектора e. У будь-якого вектора в цьому базисі буде тільки одна координата: p = a • e. Якщо p сонаправлени базисному вектору, число a покаже співвідношення довжин векторів p і e. Якщо протилежно спрямований, число a буде ще й негативним. У разі довільного напрямку вектора p по відношенню до вектора e в компоненту a входитиме косинус кута між ними.
6
В базисі більш високих порядків розкладання представлятиме більш складне рівняння. Тим не менш, можна послідовно розкласти заданий вектор за векторами базису, аналогічно одномерному.
7
Щоб знайти координати вектора в базисі, помістіть на кресленні вектор поруч з базисом. Якщо необхідно, накресліть проекції вектора на координатні осі. Порівняйте довжину вектора з базисом, розпишіть кути між ним і базисними векторами. Використовуйте для цього тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс. Розкладіть вектор по базису, а коефіцієнти при розкладанні будуть його координатами.