Як вирішувати многочлени.

Многочлен являє собою алгебраїчну суму творів чисел, змінних і їх ступенів. Перетворення многочленів зазвичай включає два види завдань. Вираз потрібно або спростити, або розкласти на множники, тобто представити його у вигляді добутку двох або декількох многочленів або одночлена і многочлена.
Інструкція
1
Щоб спростити многочлен, приведіть подібні доданки. Приклад. Спростіть вираз 12ax? -y? -6ax? + 3a? X-5ax? + 2y ?. Знайдіть одночлени з однаковою буквеної частиною. Складіть їх. Запишіть отриманий вираз: ax? + 3a? X + y ?. Ви спростили многочлен.
2
В завданнях, які вимагають розкладання многочлена на множники, визначте загальний множник даного виразу. Для цього спочатку винесіть за дужки ті змінні, які входять до складу всіх членів вираження. Причому ці змінні повинні мати найменший показник. Потім обчисліть найбільший спільний дільник кожного з коефіцієнтів многочлена. Модуль отриманого числа буде коефіцієнтом загального множника.
3
Приклад. Розкладіть на множники многочлен 5m? -10m? N? + 5m ?. Винесіть за дужки m ?, тому змінна m входить в кожен член цього виразу і її найменший показник дорівнює двом. Розрахуйте коефіцієнт загального множника. Він дорівнює п'яти. Таким чином, загальний множник даного виразу дорівнює 5m ?. Звідси: 5m? -10m? N? + 5m? = 5m? (M-2n? +1).
4
Якщо вираз не має спільного множника, спробуйте розкласти його способом угруповання. Для цього об'єднайте в групи ті члени, у яких є спільні множники. Винесіть спільний множник кожної групи за дужки. Винесіть за дужки спільний множник у всіх утворилися груп.
5
Приклад. Розкладіть на множники многочлен a? -3a? + 4a-12. Зробіть угруповання таким чином: (a? -3a?) + (4a-12). Винесіть за дужки спільний множник a? в першій групі і загальний множник 4 у другій групі. Звідси: a? (A-3) +4 (a-3). Винесіть за дужки многочлен a-3, отримаєте: (a-3) (a? +4). Отже, a? -3a? + 4a-12 = (a-3) (a? +4).
6
Деякі многочлени розкладаються на множники за допомогою формул скороченого множення. Для цього наведіть многочлен до потрібного вигляду способом угруповання або за допомогою винесення за дужки загального множника. Далі застосуєте відповідну формулу скороченого множення.
7
Приклад. Розкладіть на множники многочлен 4x? -m? + 2mn-n ?. Об'єднайте в дужки останні три члена, при цьому винесіть за дужки -1. Отримайте: 4x? - (M? -2mn + N?). Вираз в дужках можна представити у вигляді квадрата різниці. Звідси: (2x)? - (M-n) ?. Це є різниця квадратів, значить, можна записати: (2x-m + n) (2x + m + n). Таким чином, 4x? -m? + 2mn-n? = (2x-m + n) (2x + m + n).
8
Деякі многочлени можна розкласти на множники методом невизначених коефіцієнтів. Так, кожен многочлен третього ступеня можна представити у вигляді (y-t) (my? + Ny + k), де t, m, n, k - числові коефіцієнти. Отже, завдання зводиться до визначення значень цих коефіцієнтів. Це робиться, виходячи з даного рівності: (y-t) (my? + Ny + k) = my? + (N-mt) y? + (K-nt) y-tk.
9
Приклад. Розкладіть на множники многочлен 2a? -a? -7a + 2. З другої частини формули для многочлена третього ступеня складіть рівності: m = 2; n-mt = -1; k-nt = -7; -tk = 2. Запишіть їх у вигляді системи рівнянь. Вирішіть її. Ви знайдете значення t = 2; n = 3; k = -1. Підставте обчислені коефіцієнти в першу частину формули, отримаєте: 2a? -a? -7a + 2 = (a-2) (2a? + 3a-1).
Математична наука вивчає різні структури, послідовності чисел, відносин між ними, складання рівнянь і їх розв'язання. Це формальний мову, якою можна чітко описати наближені до ідеальних властивості реальних об'єктів, що вивчаються в інших галузях науки. Однією з таких структур є многочлен.
Інструкція
1
Многочлен або поліном (від грец. «Поли» - багато і лат. «Номен» - ім'я) - клас елементарних функцій класичної алгебри та геометрії алгебри. Це функція однієї змінної, яка має вигляд F (x) = c_0 + c_1 * x + ... + c_n * x ^ n, де c_i - фіксовані коефіцієнти, x - змінна.
2
Багаточлени застосовуються в багатьох розділах, в тому числі розгляді нуля, негативних і комплексних чисел, теорії груп, кілець, вузлів, множин і т.д. Використання поліноміальних обчислень значно спрощує вираз властивостей різних об'єктів.
3
Основні визначення многочлена: • Кожне складова полінома називається одночленним або Мономах. • Многочлен, що складається з двох одночленів, називають двучленной або біном. • Коефіцієнти полінома - речові або комплексні числа. • Якщо старший коефіцієнт дорівнює 1, то многочлен називають унітарною (наведеним). • Ступені змінної в кожному одночленним - цілі невід'ємні числа, максимальний ступінь визначає ступінь многочлена, а його повної ступенем називається ціле число, рівне сумі всіх ступенів. • Одночлен, відповідний нульовій ступеня, називається вільним членом. • Многочлен, все одночлени якого мають однакову повну ступінь, називається однорідним.
4
Деякі часто використовувані многочлени названі за прізвищем ученого, який їх визначив, а також описав функції, які вони задають. Наприклад, Біном Ньютона - це формула для розкладання полінома двох змінних на окремі складові для обчислення ступенів. Це відомі зі шкільної програми записи квадратів суми і різниці (a + b) ^ 2 - a ^ 2 + 2 * a * b + b ^ 2, (a - b) ^ 2 = a ^ 2 - 2 * a * b + b ^ 2 і різниця квадратів (a ^ 2 - b ^ 2) = (a - b) * (a + b).
5
Якщо допустити в записі многочлена негативні ступеня, то вийде многочлен або ряд Лорана; многочлен Чебишева використовується в теорії наближень; многочлен Ерміта - в теорії ймовірностей; Лагранжа - для чисельного інтегрування та інтерполяції; Тейлора - при апроксимації функції і т.д.
Зверніть увагу
Біном Ньютона часто згадують у книгах («Майстер і Маргарита») і фільмах («Сталкер»), коли герої вирішують математичні завдання. Цей термін на слуху, тому вважається найвідомішим многочленом.