Як знайти спільне рішення диференціального рівняння ?

Будь-яке диференціальне рівняння (ДУ), крім шуканої функції і аргументу містить в собі похідні цієї функції. Диференціювання та інтегрування є зворотними операціями. Тому процес рішення (ДУ) часто називають його інтегруванням, а саме рішення - інтегралом. Невизначені інтеграли містять довільні константи, тому в ДУ також містяться константи, а саме рішення, визначене з точністю до констант, є загальним.
Інструкція
1
Загальне рішення ДУ будь-якого порядку складати абсолютно немає чого. Воно утворюється само собою, якщо в процесі його отримання не використовувалися початкові або крайові умови. Інша справа, якщо певного рішення не було, і вони вибиралися за заданими алгоритмами, отриманим на основі теоретичних відомостей. Саме так і відбувається, якщо мова йде про лінійних ДУ з постійним коефіцієнтами n-го порядку.
2
Лінійне однорідне ДУ (ЛОДР) n-го порядку має вигляд (див. Рис. 1) .Якщо його ліву частину позначити як лінійний диференційний оператор L [y], то ЛОДР перепишеться у вигляді L [y] = 0 , і L [y] = f (x) - для лінійного неоднорідного диференціального рівняння (ЛНДУ).
3
Якщо шукати рішення ЛОДР у вигляді y = exp (k? X), то y '= k? Exp (k? X), y' '= (k ^ 2)? Exp (k? X), ..., y ^ (n-1) = (k ^ (n-1))? exp (k? x), y ^ n = (k ^ n)? exp (k? x). Після скорочення на y = exp (k? X), ви прийдете до рівняння: k ^ n + (a1) k ^ (n-1) + ... + a (n-1)? K + an = 0, званому характеристичним. Це звичайне алгебраїчне рівняння. Таким чином, якщо k - корінь характеристичного рівняння, то функція y = exp [k? X] - рішення ЛОДР.
4
Алгебраїчне рівняння n-го ступеня має n коренів (з урахуванням кратних і комплексних). Кожному вещественному кореню ki кратності «один» відповідає функція y = exp [(ki) x], тому, якщо всі вони дійсні і різні, то з урахуванням того, що будь-яка лінійна комбінація цих експонент теж є рішенням, можна скласти загальне рішення ЛОДР: y = C1? exp [(k1)? x] + C2? exp [(k2)? x] + ... + Cn? exp [(kn)? x].
5
У загальному випадку, серед рішень характеристичного рівняння можуть перебувати речові кратні і комплексно зв'язані коріння. При побудові спільного рішення у позначеній ситуації обмежтеся ЛОДР другого порядку. Тут можливе отримання двох коренів характеристичного рівняння. Нехай це буде комплексно сполучена пара k1 = p + i? Q і k2 = pi? Q. Застосування експонент з такими показниками дасть комплексно-значні функції при вихідному рівнянні з дійсними коефіцієнтами. Тому їх перетворять за формулою Ейлера і призводять до виду y1 = exp (p? X)? Sin (q? X) і y2 = exp (p? X) cos (q? X). Для випадку одного речового кореня кратності r = 2 використовують y1 = exp (p? X) і y2 = x? Exp (p? X).
6
Остаточний алгоритм. Потрібно скласти загальне рішення ЛОДР другого порядку y '' + a1? Y '+ a2? Y = 0.Составьте характеристичне рівняння k ^ 2 + a1? K + a2 = 0.Еслі воно має дійсні корені k1? K2, то його загальне рішення виберіть у вигляді y = C1? exp [(k1)? x] + C2? exp [(k2)? x] .Якщо є один дійсний корінь k, кратності r = 2, то y = C1? exp [k? x] + C2? x? exp [k2? x] = exp [k? x] (C1 + C2? x? exp [k? x]). Якщо є комплексно сполучена пара коренів k1 = p + i? q і k2 = pi? q, то відповідь запишіть у вигляді y = C1? exp (p? x) sin (q? x) ++ C2? exp (p? x) cos (q? x).
Зверніть увагу
Відомо, що загальне рішення ЛНДУ L [y] = f (x) дорівнює сумі загального рішення ЛОДР і приватного рішення ЛНДУ. Так як приватна рішення знайдено, то викладену методику можна використовувати і для складання загального рішення ЛНДУ.