Як обчислити інтеграл функції.

Интегральное числення є частиною математичного аналізу, основні поняття якого - первообразная функція і інтеграл, його властивості та методи обчислення. Геометричний сенс цих розрахунків - знаходження площі криволінійної трапеції, обмеженою межами інтегрування.
Інструкція
1
Як правило, обчислення інтеграла зводиться до того, щоб привести підінтегральний вираз до табличного виду. Існує безліч табличних інтегралів, яке полегшує вирішення таких завдань.
2
Є кілька способів привести інтеграл до зручного виду: безпосереднє інтегрування, інтегрування по частинах, метод підстановки, введення під знак диференціала, підстановка Вейєрштрасса та ін.
3
Метод безпосереднього інтегрування - це послідовне приведення інтеграла до табличного виду за допомогою елементарних перетворень:? Соs? (Х/2) dх = 1/2 •? (1 + соs х) dх = 1/2 •? Dх + 1/2 •? Соs xdх = 1/2 • (х + sin х) + С, де C - константа.
4
Інтеграл має безліч можливих значень виходячи з властивості первісної, а саме наявності сумовною константи. Таким чином, знайдене в прикладі рішення є спільним. Приватним рішенням інтеграла називається загальне при певному значенні постійної, наприклад, С = 0.
5
Інтегрування по частинах застосовується, коли підінтегральний вираз являє собою твір алгебраїчної і трансцендентної функцій. Формула методу:? Udv = u • v -? Vdu.
6
Оскільки позиції множників в твори значення не мають, то в якості функції u краще вибрати ту частину виразу, яка після диференціювання спрощується. Приклад:? X · ln xdx = [u = ln x; v = x; dv = xdx] = x?/2 · ln x -? x?/2 · dx/x = x?/2 · ln x - x?/4 + C.
7
Введення нової змінної - це прийом методу підстановки. При цьому змінюється і сама подинтегральная функції, і її аргумент:? X ·? (X - 2) dx = [t = x-2? x = t? +2? dx = 2 · tdt] =? (t? + 2) · t · 2 · tdt =? (2 · t ^ 4 + 4 · t?) dt = 2 · t ^ 5/5 + 4 · t?/3 + C = [x = t? +2] = 2/5 · (x - 2) ^ (5/2) + 4/3 · (x - 2) ^ (3/2) + C.
8
Метод введення під знак диференціала передбачає перехід до нової функції. Нехай? F (x) = F (x) + C і u = g (x), тоді? F (u) du = F (u) + C [g '(x) = dg (x)]. Приклад:? (2 · x + 3)? Dx = [dx = 1/2 · d (2 · x + 3)] = 1/2 ·? (2 · x + 3)? D (2 · x + 3 ) = 1/6 · (2 · x + 3)? + C.