Як вивести момент інерції.

Основною характеристикою моменту інерції є розподіл мас в тілі. Це скалярная величина, розрахунок якої залежить від величин елементарних мас та їх відстаней до базового безлічі.
Інструкція
1
Поняття моменту інерції пов'язано з безліччю об'єктів, здатних обертатися навколо осі. Він показує, наскільки ці об'єкти інертні під час обертання. Ця величина аналогічна масі тіла, визначальною його інертність при поступальному русі.
2
Момент інерції залежить не тільки від маси об'єкта, але і його положення щодо осі обертання. Він дорівнює сумі моменту інерції цього тіла відносно, що проходить через центр мас, і твори маси (площі перетину) на квадрат відстані між нерухомою і дійсної осями: J = J0 + S · d?.
3
При виведенні формул використовуються формули інтегрального числення, оскільки ця величина є сумою послідовності елементом, іншими словами, сумою числового ряду: J0 =? Y? DF, де dF - площа перерізу елемента.
4
Спробуємо вивести момент інерції для найпростішої фігури, наприклад, вертикального прямокутника щодо осі ординат, що проходить через центр мас. Для цього подумки розіб'ємо його на елементарні смужки шириною dy загальною тривалістю, рівної довжині фігури a. Тоді: J0 =? Y? Bdy на інтервалі [-a/2; a/2], b - ширина прямокутника.
5
Тепер нехай вісь обертання проходить не через центр прямокутника, а на відстані с від неї і паралельно їй. Тоді момент інерції буде рівний сумі початкового моменту, знайденого на першому кроці, і твору є (площі перетину) на c?: J = J0 + S · c?.
6
Оскільки S =? Bdy: J =? Y? Bdy +? C? Bdy =? (Y? + C?) Bdy.
7
Розрахуємо момент інерції для тривимірної фігури, наприклад, кулі. В цьому випадку елементами виступають плоскі диски товщиною dh. Зробимо розбиття перпендикулярно осі обертання. Підрахуємо радіус кожного такого диска: r =? (R? - H?).
8
Маса такого диска буде дорівнює p ·? · R? Dh, як добуток обсягу (dV =? · R? Dh) на щільність. Тоді момент інерції виглядає наступним чином: dJ = r? Dm =? · P · (R ^ 4 - 2 * R? * H? + H ^ 4) dh, звідки J = 2 ·? DJ [0; R] = 2/5 · m · R?.