Як привести до канонічного виду рівняння. привести рівняння другого порядку до канонічного виду.

Коли ставиться питання про приведення рівняння кривої до канонічного увазі то, як правило, маються на увазі криві другого порядку. Це еліпс, парабола і гіпербола. Найпростіший спосіб їх запису (канонічний) хороший тим, що тут можна відразу визначитися з тим, про яку кривої йде мова. Тому стає актуальною задача приведення рівнянь другого порядку до канонічного виду.
Інструкція
1
Рівняння плоскої кривої другого порядку має вигляд: A? X ^ 2 + B? X? Y + C? Y ^ 2 + 2D? X + 2E? Y + F = 0. (1) При цьому коефіцієнти A, B і С не дорівнюють нулю одночасно. Якщо В = 0, то весь сенс завдання приведення до канонічного виду зводиться до паралельного переносу системи координат. Алгебраїчно - це виділення повних квадратів у вихідному рівнянні.
2
При В не рівному нулю канонічне рівняння можна отримати лише при підстановках, фактично означають поворот системи координат. Розгляньте геометричний спосіб (див. Рис. 1). Ілюстрація на рис. 1 дозволяє зробити висновок, що x = u? Cos? - V? Sin ?, y = u? Sin? + V? Cos?.
3
Подальші докладні і громіздкі викладки опущені. У нових координатах v0u потрібно мати коефіцієнт загального рівняння кривої другого порядку B1 = 0, що досягається вибором кута?. Зробіть це на основі рівності: 2B? Cos2? = (AC)? Sin2?.
4
Подальше рішення зручніше проводити на конкретному прімере.Прімер. Перетворити до канонічного виду рівняння x ^ 2 + x? Y + y ^ 2-3? X-6y + 3 = 0.Решеніе. Випишіть значення коефіцієнтів рівняння (1): A = 1, 2B = 1, C = 1, 2D = -3, 2E = -6, F = 3.Найдіте кут повороту?. Тут cos2? = 0 і отже sin? = 1/? 2, cos? = 1/? 2.Запішіте формули перетворення координат: x = (1/? 2)? U- (1/? 2)? V, y = (1/? 2)? u + (1/? 2)? v.
5
Підставте останнє в умову задачі. Отримайте: [(1/? 2)? U- (1/? 2)? V] ^ 2 + [(1/? 2)? U- (1/? 2)? V]? [(1/? 2 )? u + (1/? 2)? v] + [(1/? 2)? u + (1/? 2)? v] ^ 2-3? [(1/? 2) u- (1/? 2 )? v] -6? [(1/? 2)? u + (1/? 2)? v] + + 3 = 0, звідки 3u ^ 2 + v ^ 2-9? 2? u + 3? 2? v + 6 = 0.
6
Для паралельного перенесення системи координат u0v, виділіть повні квадрати і получіте3 (u-3/? 2) ^ 2-27/2 + (v + 3/? 2) ^ 2-9/2 + 6 = 0 . Позначте X = u-3/? 2, Y = v + 3/? 2. У нових координатах рівняння має вигляд 3X ^ 2 + Y ^ 2 = 12 або X ^ 2/(2 ^ 2) + Y ^ 2/((2? 3) ^ 2). Це еліпс.