Як визначити потенціали точок.

Поняття потенціалу знайшло дуже широке поширення не тільки в науці і техніці, а й у побуті. Так напруга в електричній мережі - це різниця потенціалів. Найбільш чітко це поняття досліджено в теорії поля, де воно виникає при вивченні спеціальних полів, частина яких є потенційними.
Інструкція
1
Векторне поле утворює векторна величина, задана у вигляді функції точок поля М (x, y, z). Позначається як F = F (M) = F (x, y, z) або F = i? P (x, y, z) + j? Q (x, y, z) + k? R (x, y, z), де P, Q, R - координатні функції. Найбільше застосування векторні поля отримали в теорії електромагнітного поля.
2
Векторне поле називається потенційним в деякій області, якщо його можна представити у вигляді F (M) = grad (f (M)). При цьому f (M) = f (x, y, z) називається скалярним потенціалом векторного поля. Якщо F (M) = {P, Q, R}, то P = & partf/& partх, Q = & partf/& party, R = & partf/& partz. Відомо, що для будь скалярної функції f ротор її градієнта rot (gradf) = 0. Це рівність є необхідною і достатньою умовою потенційності F (M). Його можна перефразувати у вигляді:? Q/? Х =? P/? Y,? P/? Z =? R/? Х,? R/? Y =? Q/? Z.
3
Як визначити bпотенціали/b точок "rel="gallery-step-images "> Обчислення потенціалу f потенційного поля F = i? P (x, y, z) + j ? Q (x, y, z) + k? R (x, y, z) проводиться на основі того, що в силу визначення df = F? dr (мається на увазі скалярний добуток). Тоді f =? (Мо М) F? dr =? (Мо М) P? dx + Q? dy + R? dz являє собою криволінійний інтеграл другого роду уздовж довільної лінії від Мо до змінної точці М. Найпростіше використовувати ламану, відрізки якої паралельні координатним осях (умова потенційності збігається з умовою незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування) (див. рис. 1).
4
Розпочніть рішенням. Позначте x *, y *, z * координати змінної точки на шляху інтегрування. На відрізку моа y * = yo, z * = zo, dy * = 0, dz * = 0 і? (Мо А) Fdr =? (Xо x) P (x *, yo, zo)? Dx * .На АВ x * = x, z * = zo, dx * = 0, dz * = 0 і? (А В) F? dr =? (Yо y) Q (x, y *, zo)? dy * .На ВМ x * = x, y * = y, dx * = 0, dy * = 0 і? (В М) F? dr =? (zо z) R (x, y, z *)? dz *. Остаточно, f =? (Xо x) P (x *, yo, zo)? Dx * +? (Yо y) Q (x, y *, zo)? Dy * +? (Zо z) R (x, y , z *)? dz *.
5
Приклад. Дано векторне поле F (x, y, z) = (2x? Y + z) i + (x ^ 2-2y)? J + x? K. Знайти його потенціал в точці М (1,2,1). Рішення. Перевірте, чи є задане поле потенційним. Для цього можна обчислити його ротор, але простіше використовувати рівності? Q/? Х =? P/? Y,? P/? Z =? R/? Х,? R/? Y =? Q/? Z. Тут P = 2x? Y + z, Q = x ^ 2-2y, R = x. ? Q/? Х = 2x,? P/? Y = 2x - перша рівність виконано. ? P/? Z = 1,? R/? Х = 2 січня рівність виконано. ? R/? Y = 0,? Q/? Z = 0 - виконано і третє рівність. Тепер обчисліть потенціал, прийнявши за початкову точку (0,0,0) - це найпростіше. f =? (0 x) 0? dx * +? (0 y)? (x ^ 2-y *)? dy * +? (0 z)? x? dz * = (x ^ 2)? yy ^ 2 + x? z. f (1,2,1) = - 1.
Зверніть увагу
? (Мо М) - криволінійний інтеграл в межах дуги (від точки Мо до точки М, що належать дузі).