Як вивести формулу медіани трикутника.

Медіана в трикутнику - це відрізок, який проводять з вершини кута до середини протилежної сторони. Щоб знайти довжину медіани , необхідно скористатися формулою вираження її через усі сторони трикутника, яку неважко вивести.
Інструкція
1
Щоб вивести формулу для медіани в довільному трикутнику, необхідно звернутися до слідства з теореми косинусів для паралелограма, получающегося шляхом добудовування трикутника. Формулу можна довести на цій підставі, вона дуже зручна при вирішенні завдань, якщо відомі всі довжини сторін або їх легко можна знайти з інших початкових даних завдання.
2
Фактично теорема косинусів являє собою узагальнення теореми Піфагора. Вона звучить так: для двовимірного трикутника з довжинами сторін a, b і c і кутом?, Протилежними стороні a, справедливо рівність: a? = B? + C? - 2 • b • c • cos?.
3
Узагальнююче наслідок з теореми косинусів визначає одне з найважливіших властивостей чотирикутника: сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх його сторін: d1? + D2? = A? + B? + C? + D?.
4
Вирішіть задачу: нехай в довільному трикутнику ABC відомі всі сторони, знайдіть його медіану BM.
5
Добудуйте трикутник до паралелограма ABCD додаванням ліній, паралельних a і c. таким чином, сформувалася фігура зі сторонами a і c і діагоналлю b. Найзручніше будувати так: відкладіть на продовженні прямої, якій належить медіана, відрізок MD тієї ж довжини, з'єднайте його вершину з вершинами решти двох сторін A і C.
6
По властивості паралелограма діагоналі діляться точкою перетину на рівні частини. Застосуйте наслідок з теореми косинусів, згідно з яким сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі подвоєних квадратів його сторін: BK? + AC? = 2 • AB? + 2 • BC?.
7
Оскільки BK = 2 • BM, а BM - це медіана m, то: (2 • m)? + B? = 2 • c? + 2 • a ?, звідки: m = 1/2 •? (2 • c? + 2 • a? - B?).
8
Ви вивели формулу одній з медіан трикутника для сторони b: mb = m. Аналогічно знаходяться медіани двох інших його сторін: ma = 1/2 •? (2 • c? + 2 • b? - A?); Mc = 1/2 •? (2 • a? + 2 • b? - c?).