Як обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах.

На будь-яких двох неколінеарних і ненульових векторах можна побудувати паралелограм. Ці два вектори будуть стягувати паралелограм, якщо поєднати їх початку в одній точці. Добудуйте боку фігури.
Інструкція
1
Знайдіть довжини векторів, якщо задані їх координати. Нехай, наприклад, вектор A має координати (a1, a2) на площині. Тоді довжина вектора A дорівнює | A | =? (A1? + A2?). Аналогічно знаходиться модуль вектора B: | B | =? (B1? + B2?), Де b1 і b2 - координати вектора B на площині.
2
Площа паралелограма знаходиться за формулою S = | A | • | B | • sin (A ^ B), де A ^ B - кут між заданими векторами A і B . Синус можна знайти через косинус, використовуючи основне тригонометричну тотожність: sin + cos = 1. Косинус ж можна виразити через скалярний добуток векторів, записане в координатах.
3
Скалярний добуток вектора A на вектор B позначається як (A, B). За визначенням, воно дорівнює (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). А в координатах скалярний твір записується так: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Звідси можна виразити косинус кута між векторами: cos (A ^ B) = (A, B)/| A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2)/? (A1? + A2?) •? ( a2? + b2?). У чисельнику - скалярний твір, в знаменнику - довжини векторів.
4
Тепер можна виразити синус з основного тригонометричного тотожності: sin = 1-cos , sin? = ±? (1-cos ). Якщо припустити, що кут? між векторами - гострий, «мінус» при синусі можна відкинути, залишивши тільки знак «плюс», оскільки синус гострого кута може бути тільки позитивним (або нульовим при нульовому вугіллі, але тут кут ненульовий, це відображається в умові неколінеарності векторів).
5
Тепер треба підставити координатне вираз для косинуса в формулу синуса. Після цього залишиться лише записати результат у формулу площі паралелограма . Якщо все це виконати і спростити числове вираження, то вийде, що S = a1 • b2-a2 • b1. Таким чином, площа паралелограма , побудованого на векторах A (a1, a2) і B (b1, b2), знаходиться за формулою S = a1 • b2-a2 • b1.
6
Отриманий вираз є детермінантою матриці, складеної з координат векторів A і B: a1 a2b1 b2.
7
Дійсно, щоб отримати визначник матриці розмірності два, потрібно перемножити елементи головної діагоналі (a1, b2) і відняти з цього твір елементів побічної діагоналі (a2, b1).
Векторное твір - одна з найбільш поширених дій, використовуваних у векторній алгебрі. Ця операція знайшла широке поширення в науці і техніці. Найбільш наочно і вдало це поняття використовується в теоретичній механіці.
Інструкція
1
Розгляньте механічну задачу, для вирішення якої потрібне векторне твір. Як відомо, момент сили відносно центру дорівнює добутку цієї сили на її плече (див. Рис. 1а). Плече h в ситуації, представленої на малюнку визначається за формулою h = | OP | sin (? -?) = | OP | sin ?. Тут F прикладена до точки Р. З іншого боку Fh дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах ОР і F.
2
Сила F викликає обертання Р відносно 0. У результаті виходить вектор, спрямований за відомим правилом «буравчика». Тому твір Fh є модулем вектора моменту сили OMo, який перпендикулярний площині, що містить вектори F і OMo.
3
За визначенням векторний добуток a і b - це вектор с, що позначається с = [а, b] (є й інші позначення, найчастіше через перемножування «хрестиком»). З повинен відповідати таким властивостям: 1) з ортогонален (перпендикулярний) а і b, 2) | c | = | a || b | sinф, де ф кут між а і b; 3) трійка веторов а, b і з права, тобто найкоротший поворот від a до b проводиться проти годинникової стрілки.
4
Не вдаючись у подробиці, слід зазначити, що для векторного твори справедливі всі арифметичні дії крім властивості коммутативности (перестановки), тобто [а, b] не дорівнює [b, а] .Геометріческій сенс векторного твори: його модуль дорівнює площі паралелограма (див. рис. 1b).
5
Знаходження векторного твори согласнопо визначення деколи вельми скрутно. Щоб вирішити поставлене завдання, зручно використовувати дані в координатної формі. Нехай в декартових координатах: a (ax, ay, az) = ax * i + ay * j + az * k, ab (bx, by, bz) = bx * i + by * j + bz * k, де i, j, k - вектори-орти координатних осей.
6
В даному випадку перемножування за правилами розкриття дужок алгебраїчного виразу. При цьому врахуйте, що sin (0) = 0, sin (?/2) = 1, sin (3?/2) = - 1, модуль кожного орта дорівнює 1 і трійка i, j, k права, а самі вектори взаємно ортогональні. Тоді отримаєте: з = [а, b] = (ay * bz- az * by) i- (ax * bz- az * bx) j + (ax * by- ay * bx) k = с ((ay * bz- az * by), (az * bx- ax * bz), (ax * by- * bx)). (1) Ця формула і є правилом обчислення векторного добутку в координатній формі. Її недолік - громіздкість і, як наслідок, важка запам'ятовуваність.
7
Для спрощення методики обчислення векторного добутку використовуйте вектор-визначник, представлений на малюнку 2.Із даних, наведених на малюнку, випливає, що на наступному кроці розкриття цього визначника, яке велося за його першому рядку, якраз і виникає алгоритм (1). Як бачите, тут немає особливих проблем із запам'ятовуванням.