Як вивернути сферу навиворіт.

Відповідь на поставлене питання можна отримати за допомогою заміни системи координат. Так як вибір їх не обумовлений, то і способів може бути декілька. У будь-якому випадку, мова йде про форму сфери в новому просторі.
Інструкція
1
Для того щоб подальше було зрозуміліше, почніть з плоского випадку. Звичайно слово «вивернемо» слід брати в лапках. Розгляньте окружність x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2. Застосуйте криволінійні координати. Для цього зробіть заміни змінних u = R/x, v = R/y, відповідно зворотне перетворення x = R/u, y = R/v. Підставте це в рівняння кола і отримаєте [(1/u) ^ 2 + (1/v) ^ 2] * R ^ 2 = R ^ 2 або (1/u) ^ 2 + (1/v) ^ 2 = 1 . Далі (u ^ 2 + v ^ 2)/(u ^ 2) (v ^ 2) = 1, або u ^ 2 + v ^ 2 = (u ^ 2) (v ^ 2). Графіки таких функцій не вкладаються в рамки кривих другого порядку (тут четвертий порядок).
2
Для того щоб став ясний вигляд кривої в координатах u0v, що розглядаються як декартові, перейдіть до полярних координат? =? (?). При цьому u =? Cos ?, v =? Sin ?. Тоді (? Cos?) ^ 2 + (? Sin?) ^ 2 = [(? Cos?) ^ 2] [(? Sin?) ^ 2]. (? ^ 2) [(cos?) ^ 2 + (sin?) ^ 2] = (? ^ 4) [(cos?) ^ 2] [(sin?) ^ 2], 1 = (? ^ 2) [(cos?) (sin?)] ^ 2. Застосуйте формулу синуса подвійного кута і отримаєте? ^ 2 = 4/(sin2?) ^ 2 або? = 2/| (sin2?) |. Гілки цієї кривої дуже схожі на гілки гіперболи (див. Рис. 1).
3
Тепер вам слід перейти до сфери x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = R ^ 2. За аналогією з колом зробіть заміни u = R/x, v = R/y, w = R/z. Тоді x = R/u, y = R/v, z = R/w. Далі отримаєте [(1/u) ^ 2 + (1/v) ^ 2 + (1/w) ^ 2] * R ^ 2 = R ^ 2, (1/u) ^ 2 + (1/v) ^ 2+ (1/w) ^ 2 = 1 або (u ^ 2) (v ^ 2) + (u ^ 2) (w ^ 2) + (v ^ 2) (w ^ 2) = (u ^ 2) (v ^ 2) (w ^ 2). До сферичним координатам в межах 0uvw, що розглядаються як декартові, переходити не слід, так як це не внесе полегшення в пошуку ескізу отриманої поверхні.
4
Тим не менш, цей ескіз вже позначився з попередніх даних плоского випадку. Крім того, очевидно, що це - поверхня, що складається з окремих фрагментів, і що координатних площин u = 0, v = 0, w = 0 ці фрагменти не перетинають. Вони можуть наближатися до них асимптотично. В цілому фігура складається з восьми фрагментів схожих на гіперболоіди. Якщо дати їм назву «умовний гіперболоїд», то можна говорити про чотири парах двуполостной умовних гіперболоїдів, віссю симетрії яких є прямі з направляючими косинусами {1/? 3, 1/? 3, 1/? 3}, {-1/? 3 , 1/? 3, 1/? 3}, {1/? 3, -1/? 3, 1/? 3}, {-1/? 3, -1/? 3, 1/? 3}. Ілюстрацію навести досить важко. Тим не менш, наведене опис можна вважати досить повним.