Як обчислити дисперсію і математичне очікування.

Дисперсія і математичне очікування є основними характеристиками випадкової події при побудові імовірнісної моделі. Ці величини пов'язані між собою і в сукупності становлять основу для статистичного аналізу вибірки.
Інструкція
1
Будь випадкова величина має цілу низку числових характеристик, що визначають її ймовірність і ступінь відхилення від істинного значення. Це початкові і центральні моменти різного порядку. Перший початковий момент називається математичним очікування м, а центральний момент другого порядку - дисперсією.
2
Математичне очікування випадкової величини являє собою її середнє очікуване значення. Також цю характеристику називають центром розподілу ймовірностей і знаходять шляхом інтегрування за формулою Лебега-Стільтьеса: m =? Xdf (x), де f (x) - функція розподілу, значеннями якої є ймовірності елементів множини x? X.
3
Виходячи з початкового визначення інтеграла функції, математичне очікування можна представити у вигляді інтегральної суми числового ряду, члени якого складаються з пар елементів множин значень випадкової величини та її ймовірностей в цих точках. Пари пов'язані операцією множення: m =? Xi • pi, інтервал підсумовування становить i від 1 до?.
4
Наведена формула є наслідком з інтеграла Лебега-Стільтьеса для випадку, коли аналізована величина X дискретна. Якщо ж вона целочисленная, то обчислити математичне очікування можна через виробляє функцію послідовності, яка дорівнює першій похідній функції розподілу ймовірностей при x = 1: m = f '(x) =? K • p_k при 1? k
5
Дисперсія випадкової величини використовується для оцінки середнього значення квадрата її відхилення від математичного очікування, а точніше - її розкиду навколо центру розподілу. Таким чином, ці дві величини виявляються пов'язаними формулою: d = (x - m)? .
6
Підставивши в неї вже відоме уявлення математичного очікування у вигляді інтегральної сумі, можна обчислити дисперсію наступним чином: d =? Pi • (xi - m)?.
У теорії ймовірності одним з основних є поняття математичного очікування. Знайти його за формулою буває не так вже й просто, тому використовувати класичне визначення не рекомендується. Раціональніше знаходити математичне очікування через дисперсію.
Вам знадобиться
  • - керівництво до розв'язання задач з теорії ймовірностей і математичній статистиці В.Е.Гмурмана.
Інструкція
1
Випадкові величини крім законів розподілу можуть описуватися також числовими характеристиками, однією з яких є математичне очікування, визначити яке не завжди просто. Для цього використовують дисперсію (математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від математичного очікування). Але для початку потрібно собі точно уявляти, що означає математичне очікування: за визначенням це середнє значення випадкової величини, яке можна порахувати як суму значень цих величин, помножених на їхню ймовірність.
2
Вам необхідно в умові завдання знайти, яке саме числове значення дисперсії дано за умовою, а потім витягти з нього корінь. Отриманий результат і буде математичним очікуванням. Але так як дана величина є середнім значенням, то ви отримаєте наближене значення. Тому даний підсумок не зовсім вірний.
3
Якщо за умовою задачі дано середньоквадратичне відхилення (сигма), то доцільніше знайти дисперсію (витягти корінь з числового значення). А потім за класичним визначенням теорії ймовірності знайти, чому дорівнює математичне сподівання.
Зверніть увагу
Запам'ятайте деякі властивості, які полегшать пошук математичного очікування: Математичне сподівання константи одно самої константе.Еслі випадкову величину помножити на деяке число k, то і математичне очікування примножиться на це ж чісло.Математіческое сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань.
Корисна порада
На насправді набагато простіше спочатку визначити математичне очікування, а потім вважати дисперсію. Таким чином розрахунки скоротяться в кілька разів.