Як обчислити межі функцій, не користуючись засобами диференційного обчислення.

Обчислення меж із застосуванням способів диференціального обчислення ґрунтується на правилі Лопиталя. При цьому відомі приклади, коли це правило не стосується. Тому залишається актуальною і задача обчислення меж звичайними способами.
Інструкція
1
Безпосереднє обчислення меж пов'язано, в першу чергу, з межами раціональних дробів Qm (x)/Rn (x), де Q і R многочлени. Якщо обчислюється межа при х? A (a - число), то може виникнути невизначеність, наприклад [0/0]. Для її усунення просто поділіть чисельник і знаменник на (х-а). Операцію повторюйте до тих пір, поки невизначеність не пропаде. Ділення многочленів здійснюється практично так само, як і ділення чисел. Воно засноване на тому, що поділ і множення - зворотні операції. Приклад наведено на рис. 1.
2
Застосування першого чудового межі. Формула для першого чудового межі приведена на рис. 2а. Для його застосування приведіть вираз вашого прикладу до відповідного виду. Це завжди можна зробити чисто алгебраїчно або заміною змінної. Головне - не забувайте, що якщо синус береться від kx, то і знаменник теж kx. Приклад розглянутий на рис. 2e.Кроме того, якщо врахувати, що tgx = sinx/cosx, cos0 = 1, то, як наслідок, з'являється формула (див. Рис. 2b). arcsin (sinx) = x і arctg (tgx) = x. Тому є ще два слідства (рис 2с. І 2d). Виник ще досить широкий набір способів обчислення меж.
3
Застосування другого чудово межі (див. Рис. 3а) Межі такого типу використовуються для усунення невизначеностей типу [1 ^?]. Для розв'язання відповідних задач просто перетворіть умова до структури, відповідної виду межі. Пам'ятайте, що при зведенні в ступінь вираження, що вже використовується у будь-якій мірі, їх показники перемножуються. Відповідний приклад наведено на рис. 2е.Пріменіте підстановку? = 1/х і отримаєте наслідок з другого чудового межі (рис. 2b). Прологаріфміровав по підставі а обидві частини цього слідства, прийдете до другого слідству, в тому числі і при а = е (див. Рис. 2с). Зробите заміну а ^ x-1 = y. Тоді x = log (a) (1 + y). При прагненні х до нуля, у також прагне до нуля. Тому виникає і третє слідство (див. Рис. 2d).
4
Застосування еквівалентних нескінченно малих.Бесконечно малі функції еквівалентні при х? А, якщо межа їх відносини? (Х)/? (Х) дорівнює одиниці. При обчисленні меж за допомогою таких нескінченно малих просто запишіть? (X) =? (X) + o (? (X)). o (? (x)) - це нескінченно мала більш високого порядку малості, ніж? (x). Для неї lim (x? A) o (? (X))/? (X) = 0. Для з'ясування еквівалентності використовуйте ті ж чудові межі. Метод дозволяє істотно спростити процес знаходження меж, зробивши його більш прозорим.
Коротка історична довідка: маркіз Гійом Франсуа Антуан де Лопиталь обожнював математику і був справжнім меценатом для відомих учених. Так Йоганн Бернуллі був його постійним гостем, співрозмовником і навіть співробітником. Існує припущення, що Бернуллі подарував право авторства відомого правила Лопиталю в знак подяки за його послуги. На користь цієї точки зору говорить той факт, що доказ до правилу було офіційно опубліковано через 200 років ще одним відомим математиком Коші.
Вам знадобиться
  • - ручка;
  • - папір.
Інструкція
1
Правило Лопіталя полягає в наступному: межа відношення функцій f (x) і g (x), при х прагне до точки а, дорівнює відповідному межі відносини похідних цих функцій. При цьому значення g (a) не дорівнює нулю, як і значення її похідної в цій точці (g '(a)). Крім того межа g '(a) існує. Аналогічне правило діє і при x, що прагне до нескінченності. Таким чином можна записати (див. Рис.1):
2
Правило Лопіталя дозволяє усувати невизначеності типу нуль ділити на нуль і нескінченність ділити на нескінченність ([0/0], [?/?] Якщо на рівні перших похідних питання ще не дозволений, слід використовувати похідні другого і навіть більшого порядку .
3
Приклад 1. Знайти межа при х прагне до 0 відносини sin ^ 2 (3x)/tg (2x) ^ 2. Тут f (x) = sin ^ 2 (3x), g (x) = tg (2x) ^ 2. f '(x) = 2 • 3sin3xcos3x = 6sin3xcos3x, g' (x) = 4x/cos ^ 2 (2x) ^ 2. lim (f '(x)/g' (x)) = lim (6sin3x/4x), так як cos (0) = 1. (6sin3x) '= 18cos3x, (4x)' = 4. Отже (див. Рис. 2):
4
Приклад 2. Знайти межа на нескінченності раціональної дробу (2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 1)/(x ^ 3 + 4x ^ 2 + 5x + 7). Шукаємо ставлення перших похідних. Це (6x ^ 2 + 6x)/(3x ^ 2 + 8x + 5). Для других похідних (12x + 6)/(6x + 8). Для третіх 12/6 = 2 (див. Рис.3).
5
Решта невизначеності, на перший погляд, не підлягають розкриттю за допомогою правила Лопіталя, т.к. не містять відношення функцій. Однак деякі гранично прості алгебраїчні перетворення можуть допомогти усунути їх. Насамперед можна нуль помножити на нескінченність [0 •?]. Будь-яку функцію q (x)? 0 при х? а можна переписати у вигляді q (x) = 1/(1/q (x)) і тут (1/q (x)) .
6
Приклад 3. Знайти межа (див. Рис.4) В даному випадку є невизначеність нуль помножити на нескінченність. Перетворивши це вираз отримаєте: xlnx = lnx/(1/x), тобто співвідношення виду [? -?]. Застосувавши правило Лопіталя, отримаєте ставлення похідних (1/x)/(- 1/x2) = - х. Так як х прагне до нуля,, рішення межі буде відповідь: 0.
7
Невизначеність виду [? -?], Розкривається, якщо мається на увазі різницю будь-яких дробів. Привівши цю різницю до спільного знаменника, отримаєте деяке відношення функцій. Невизначеності типу 0 ^ ?, 1 ^ ?,? ^ 0 виникають при обчисленні границь функцій типу p (x) ^ q (x). В цьому випадку застосовують попереднє диференціювання. Тоді логарифм шуканого межі А прийме вигляд твори, можливо, що з готовим знаменником. Якщо ні, то можна використовувати методику прикладу 3. Головне не забути записати остаточну відповідь у вигляді е ^ А (див. Рис.5).