Як обчислити приватну похідну.

Приватні похідні - основні складові повного диференціала функції. Це поняття відноситься до кожного з аргументів і передбачає обчислення виходячи з припущення, що інші аргументи в даному випадку є константами.
Інструкція
1
Щоб знайти повний диференціал функції декількох змінних, потрібно обчислити приватну похідну по кожній з них. Методи вирішення аналогічні знаходженню похідної функції одного аргументу за тим винятком, що в якості одного або декількох постійних доданків або множників виступають інші змінні.
2
Принципи визначення похідної базуються на диференціюванні найпростіших і тригонометричних функціях: • (x ^ a) '= a • x ^ (a-1); • (a ^ x)' = a ^ x • ln (a) ; • (sin х) '= cоs х; • (cоs x)' = - sin х; • (tg х) '= 1/cоs? х; • (сtg х) '= - 1/sin? х; • С '= 0, С - константа; • х' = 1.
3
Похідна функції, що містить змінні високого ступеня, визначається за формулою Лейбніца: f ^ (n) =? C (n) ^ k • f ^ (nk), де C (n) ^ k - біноміальні коефіцієнти.
4
Розгляньте приклад: f = 2 • х • у? + 5 • y • z ^ 5 + 3 • x? •? Z.
5
Визначте приватну похідну по х. При цьому кожне з доданків уявіть у вигляді функції від х. В даному випадку елементи 2 • у ?, 5 • y • z ^ 5 і 3 •? Z будуть постійними величинами: f'x = 2 • y? + 0 + 6 • x •? Z;
6
При визначенні приватної похідною по y прийміть за постійні вирази 2 • x, 5 • z ^ 5 і 3 • x? •? Z: f'y = 4 • x • у + 5 • z ^ 5 + 0 ;
7
Приватна похідна по аргументу z припускає оголошення константами множники 5 • y, 3 • x? і доданок 2 • x • y?: f'z = 0 + 25 • y • z ^ 4 + 3/2 • x?/? z.
8
Приватні похідні використовуються при вирішенні диференціальних рівнянь. При цьому більше поширена запис? F/? X, яка на відміну від звичайної похідної df/dx сприймається як єдине позначення, а не як відношення приросту функції і аргументу. Елементи записи не можна розділити.
9
Результати описаного прикладу можна записати у вигляді повного диференціала функції: df =? F/? X • dx +? F/? Y • dу +? F/? Z • dz = 2 • (y? + 3 • x •? z) • dx + (4 • x • y + 5 • z ^ 5) • dy + (25 • y • z ^ 4 + (3 • x?)/(2 •? z)) • dz.
10
Щоб знайти приватні похідні більш високих порядків, потрібно продифференцировав функцію відповідну кількість разів. Наприклад, повний диференціал другого порядку наведеної функції буде виглядати наступним чином: d? F = (6 •? Z) • d? X + (4 • x) • d? У + (-3/4 • x?/? Z? ) • d? z.А диференціал третього порядку ось так: d? f = 0 • d? x + 0 • d? y + (9/8 • x?/? z ^ 5) • d? z і т.д .