Як обчислити диференціал.

Диференціал - одне з центральних понять математичного аналізу як один з методів вивчення властивостей функцій. Щоб обчислити диференціал, необхідно знайти похідну того ж порядку, а потім помножити її на приріст аргументу.
Інструкція
1
Щоб обчислити диференціал du, знайдіть похідну того ж порядку і помножте на диференціал незалежної змінної dх. У випадку декількох аргументів U (х, у, z) по кожному з них визначте приватну похідну (приймаючи решта за постійні). Підсумувавши всі величини, ви отримаєте повний диференціал: dU =? U/? Х • dх +? U/? У • dу +? U/? Z • dz.
2
Для спрощення роботи з диференціалами були введені деякі найпоширеніші формули. Наприклад: • dС = 0, С - константа; • для u = х ^ а - du = а • х ^ (а-1) dх; • якщо u = а ^ х, то du = а ^ х • ln а dх ; • d (lоg_а х) = (1/(х • ln а)) dх, в окремому випадку d (ln х) = (1/х) dх; • d (sin х) = cоs х dх; • d ( cоs х) = - sin х dх; • d (tg х) = (1/cоs? х) dх; і т.д.
3
Крім того, існують правила розрахунку диференціалів сум, різниці, добутку і частки двох функцій: • d (u ± g) = du ± dg; • d (u • g) = gdu + udg; • d (u/g) = (gdu - udg)/g?.
4
Приклад: нехай у = х? - 12 • х? + Х • tgх + ln (2 • х).
5
РешеніеПосмотріте, які правила і теореми можна використовувати в даному випадку. Тригонометрическая функція tg х і логарифм ln (2 • х) є табличними величинами, похідні яких легко знайти за основними формулами диференціювання: (tg х) '= (1/cоs? Х); (Ln 2х) '= 2/х.
6
Також у виразі функції у присутній твір х • tg х, продіфференціруйте його згідно з правилом: d (х • tg х) = tg х • (х'dх) + х • (tg х) 'd х = (tg х + х/cоs? х) dх.
7
Отже, у '= 3 • х? - 24 • х + tg х + х/cоs? х + 2/х? dу = (3 • х? - 24 • х + tg х + х/cоs? х + 2/х) dх.
8
Застосування понять диференціала і похідної функції виходить за рамки математичних обчислень. Вони широко використовуються в різних прикладних областях, наприклад, в механіці швидкість матеріальної точки дорівнює диференціалу шляху, який є функцією за часом. В економіці таким чином визначають граничні величини, інструменти операційного аналізу для оцінки ефективності виробничої стратегії.