Як обчислити другу похідну.

Математичні методи застосовуються в багатьох галузях науки. Це твердження стосується, зокрема, диференціального числення. Наприклад, якщо вирахувати другу похідну функції відстані від змінної часу, то можна знайти прискорення матеріальної точки.
Інструкція
1
Диференціювання функції при кожному значенні області її визначення призводить до появи нової функції. Таким чином, вона теж може бути Продифференцировав. Результатом цієї вторинної операції буде друга похідна вихідної функції.
2
Правила і методи диференціювання зберігаються для похідних вищих порядків. Це стосується деяких елементарних функцій, операцій додавання, твори і ділення, а також складних функцій виду u (g (х)): • u '= С' = 0 - похідна константи; • u '= х' = 1 - найпростіша функція одного аргументу; • u '= (х ^ а)' = а • х ^ (а-1); • u '= (а ^ х)' = а ^ х • ln а - показова функція;
3
Основні тригонометричні функції також є табличними: • u '= (sin х)' - соs х; • u '= (соs х)' = -sin х; • u '= (tg х)' = 1/соs? х; • u '= (ctg х)' = - 1/sin? х.
4
Арифметичні операції пари функцій u (х) і g (х): • (u + g) '= u' + g '; • (u • g)' = u '• g + g' • u ; • (u/g) '= (u' • g - g '• u)/g?.
5
Досить важко вирахувати другу похідну складної функції. Для цього застосовують методи чисельного диференціювання, хоча результат виходить наближеним, присутня так звана похибка апроксимації?: U '' (х) = (u (х + h) - 2 • u (х) + u (х - h))/h ? +? (H?) - Інтерполяційний многочлен Ньютона; u '' (х) = (-u (х + 2 • h) + 16 • u (х + h) - 30 • u (х) + 16 • u (х - h) - u (х - 2 • h))/(12 • h?) +? (h?) - формула Стрілінга.
6
У цих формулах присутня якась величин h. Вона називається кроком апроксимації, вибір якого повинен бути оптимальним, щоб мінімізувати похибку обчислення. Підбір правильного значення h називається регуляцією по кроці: | u (х + h) - u (х) |>?, Де? нескінченно мало.
7
Метод обчислення другої похідної застосовується при знаходження повного диференціала другого порядку. При цьому вона приватно розраховується для кожного аргументу і бере участь в кінцевому вираженні у вигляді множника відповідного диференціала dх, dy і т.д.: d? u =? u '/? х • d? х +? u'/? y • d? у +? u '/? z • d? z.
8
Приклад: знайдіть друга похідну функції u = 2 • х • sin х - 7 • х? + Х ^ 5/tg х.
9
Решеніеu '= 2 • sin x + 2 • х • соs х - 21 • х? + 5 • х ^ 4/tg х - х?/Sin? х; u '' = 4 • соs х - 2 • х • sin х - 42 • х + 20 • х?/tg х - 5 • х ^ 4/sin? х - 2 • х/sin? х + 2 • х? • соs х/sin? х.