Як обчислити число Є.

Якщо в школі учень постійно стикається з числом П і його важливістю, то студенти набагато частіше використовують деякий e, рівне 2.71. Число при цьому не береться з нізвідки - більшість викладачів чесно розраховують його прямо під час лекції, не використовуючи при цьому навіть калькулятора.
Інструкція
1
Використовуйте для розрахунку другий чудовий межа. Він полягає в тому, що e = (1 + 1/n) ^ n, де n - ціле число, зростаюче до нескінченності. Суть докази зводиться до того, що праву частину чудового межі потрібно розкласти через біном Ньютона, часто використовувану в комбінаториці формулу.
2
Біном Ньютона дозволяє висловити будь-яку (a + b) ^ n (суму двох чисел в ступені n), як ряд (n! * A ^ (nk) * b ^ k)/(k! * (Nk) !). Для більшої наочності перепишіть дану формулу на папір.
3
Проведіть вказане вище перетворення для «чудового межі». Отримайте, що e = (1 + 1/n) ^ n = 1 + n/n + (n (n-1))/(2! * N ^ 2) + n (n-1) (n-2)/(3! * n3) + ... + (n-1) (n-2) 2 * 1/(n! * n ^ n).
4
Даний ряд можна перетворити, винісши, для наочності, факторіал в знаменнику за дужку і почленно поділивши чисельник кожного числа на знаменник. Отримаємо ряд 1 + 1 + (1/2!) * (1-1/n) + (1/3!) * (1-1/n) * (1-2/n) + ... + (1/n !) * (1-1/n) * ... * (1-n-1/n). Перепишіть даний ряд на папір, щоб переконатися, що він має досить просту конструкцію. При нескінченному збільшенні числа членів (тобто збільшенні n) різниця в дужках буде зменшуватися, однак буде збільшуватися стоїть перед дужкою факторіал (1/1000!). Неважко довести, що даний ряд буде сходитися до деякої величиною, рівною 2,71. Це видно і з перших членів: 1 + 1 = 2; 2+ (1/2) * (1-1/1000) = 2,5; 2,5+ (1/3!) * (1-1/1000) * (1-2/1000) = 2,66.
5
Набагато простіше розкладання за допомогою узагальнення ньютоновского бинома - формули Тейлора. Мінус даного способу в тому, що розрахунок ведеться через експонентну функцію e ^ x, тобто для розрахунку е математик оперує числом е.
6
Ряд Тейлора має вигляд: f (x) = f (a) + (xa) * f '(a)/1! + (Xa) * (f ^ (n)) (a)/n! , де х - деяка точка, навколо якої ведеться розкладання, а f ^ (n) -проізводная f (x) n-ого порядку.
7
Після розкладання експоненти в ряд вона прийме вигляд: e ^ x = 1 + x/1! + X ^ 2/2! + X ^ 3/3! + ... + X ^ n/n!.
8
Похідна функції e ^ x = e ^ x, тому, якщо розкладати функцію в ряд Тейлора в околиці нуля, похідна будь-якого порядку звернеться в одиницю (підставимо 0 замість х). Отримаємо: 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n !. За першим кільком членам можна обчислити приблизне значення e: 1 + 0.5 + 0.16 + 0.041 = 2.701.