Як обчислити довжину кривої.

При обчисленні будь-якої довжини слід пам'ятати, що це величина кінцева, тобто просто число. Якщо мається на увазі довжина дуги кривої , то така задача вирішується за допомогою певного інтеграла (в плоскому випадку) або криволінійного інтеграла першого роду (по довжині дуги). Дуга АВ буде позначатися UАВ.
Інструкція
1
Перший випадок (плоский). Нехай UАВ задана плоскою кривої y = f (x). Аргумент функції зміняться в межах від а до b і вона безперервно дифференцируема цьому відрізку. Знайдемо довжину L дуги UАВ (див. Рис. 1а). Для вирішення цього завдання розбийте розглянутий відрізок на елементарні відрізки? Xi, i = 1,2, ..., n. В результаті UАВ розіб'ється на елементарні дуги? Ui, ділянок графіка функції y = f (x) на кожному з елементарних відрізків. Знайдете довжину? Li елементарної дуги наближено, замінивши її відповідною хордою. При цьому можна прирощення замінити диференціалами і використовувати теорему Піфагора. Після винесення з квадратного кореня диференціала dx отримаєте результат, наведений на малюнку 1b.
2
Другий випадок (дуга UАВ задана параметрично). x = x (t), y = y (t), tє [?,?]. Функції x (t) і y (t) мають безперервні похідні на відрізку цьому відрізку. Знайдіть їх диференціали. dx = f '(t) dt, dy = f' (t) dt. Підставте ці диференціали в формулу для обчислення довжини дуги в першому випадку. Винесіть dt з квадратного кореня під інтегралом, покладіть х (?) = А, x (?) = B і прийдете до формули для обчислення довжини дуги в даному випадку (див. Рис. 2а).
3
Третій випадок. Дуга UАВ графіка функції задана в полярних координатах? =? (?) Полярний кут? при проходженні дуги змінюється від? до?. Функція? (?)) Має безперервну похідну на відрізку її розгляду. У такій ситуації найпростіше використовувати дані, отримані на попередньому кроці. Виберіть? як параметр і підставте в рівняння зв'язку полярних і декартових координат x =? cos? y =? sin ?. Продіфференціруйте ці формули і підставте квадрати похідних в вираз на рис. 2а. Після невеликих тотожних перетворень, заснованих в основному, на застосуванні тригонометричного тотожності (cos?) ^ 2 + (sin?) ^ 2 = 1, отримаєте формулу для обчислення довжини дуги в полярних координатах (див. Рис.2b).
4
Четвертий випадок (просторова крива, задана параметрично). x = x (t), y = y (t), z = z (t) tє [?,?]. Строго кажучи, тут слід застосувати криволінійний інтеграл першого роду (по довжині дуги). Криволінійні інтеграли обчислюють переведенням їх у звичайні певні. В результаті відповідь залишиться практичним таким же як і випадку два, з тією лише відмінністю, що під коренем з'явиться додаткове доданок - квадрат похідною z '(t) (див рис. 2с).