Як знайти відстань між двома паралельними площинами.

Існує кілька способів завдання площини: загальне рівняння, направляючі косинуси вектора нормалі, рівняння у відрізках та ін. Використовуючи елементи конкретної записи, можна знайти відстань між площинами.
Інструкція
1
Площина в геометрії можна визначити по-різному. Наприклад, це поверхня, будь-які дві точки якої з'єднує пряма, яка також складається з точок площини. За іншим визначенням, це безліч точок, що знаходяться на рівному віддаленні від будь-яких двох заданих, які не належать їй.
2
Площина - найпростіше поняття стереометрії, що означає плоску фігуру, необмежено спрямовану на всі боки. Ознака паралельності двох площин полягає у відсутності перетинів, тобто дві задані просторові фігури не мають спільних точок. Друга ознака: якщо одна площина паралельна пересічним прямим, що належить іншій, то ці площини паралельні.
3
Щоб знайти відстань між двома паралельними площинами, потрібно визначити довжину відрізка, перпендикулярного ім. Кінцями цього відрізка є точки, що належать кожній площині. Крім того, нормальні вектора також паралельні, а значить, якщо площині задані загальним рівнянням, то необхідною і достатньою ознакою їх паралельності буде рівність відносин координат нормалей.
4
Отже, нехай задані площини A1 • х + B1 • у + C1 • z + D1 = 0 і A2 • х + B2 • у + C2 • z + D2 = 0, де Ai, Bi, Ci - координати нормалей, а D1 і D2 - відстані від точки перетину координатних осей. Площині паралельні, якщо: A1/A2 = B1/B2 = C1/C2, а відстань між ними можна знайти за формулою: d = | D2 - D1 |/? (| A1 • A2 | + B1 • B2 + C1 • C2).
5
Приклад: дано дві площини х + 4 • у - 2 • z + 14 = 0 і -2 • х - 8 • у + 4 • z + 21 = 0. Визначити, паралельні вони. Якщо так, то знайти відстань між ними.
6
Решеніе.A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 = -1/2 - площині паралельні. Зверніть увагу на присутність коефіцієнта -2. Якщо D1 і D2 співвідносяться один з одним з тим же коефіцієнтом, то площини збігаються. У нашому випадку це не так, оскільки 21 • (-2)? 14, отже, можна знайти відстань між площинами.
7
Розділіть для зручності друге рівняння на величину коефіцієнта -2: х + 4 • у - 2 • z + 14 = 0; х + 4 • у - 2 • z - 21/2 = 0.Тогда формула прийме вигляд : d = | D2 - D1 |/? (A? + B? + C?) = | 14 + 21/2 |/? (1 + 16 + 4)? 5,35.
При вирішенні геометричних і практичних задач іноді потрібно знайти відстань між паралельними площинами. Так, наприклад, висота кімнати - це, фактично, відстань між стелею і підлогою, які представляють собою паралельні площині. Прикладом паралельних площин є також протилежні стіни, обкладинки книги, стінки коробок і багато іншого.
Вам знадобиться
  • - лінійка;
  • - креслярський трикутник з прямим кутом;
  • - калькулятор;
  • - циркуль.
Інструкція
1
Щоб знайти відстань між двома паралельними площинами: • проведіть пряму, перпендикулярну одній з площини; • визначте точки перетину цієї прямої з кожної з площин; • виміряйте відстані між цими точками.
2
Щоб провести пряму, перпендикулярну площині, скористайтеся наступним методом, запозиченим з нарисної геометрії: • виберіть на площині довільну точку; • проведіть через цю точку дві пересічні прямі; • побудуйте пряму перпендикулярну одночасно обом пересічним прямим.
3
Якщо паралельні площини розташовані горизонтально, наприклад, підлога і стеля будинку, то для вимірювання відстані скористайтеся схилом. Для цього: • візьміть нитку, довжиною свідомо більшою вимірюваного відстані; • прив'яжіть до одного з її кінців невеликий грузик; • перекиньте нитку через гвоздик або провід, розташовані поблизу від стелі, або притримаєте нитка пальцем; • опускайте грузик до тих пір, поки він не торкнеться підлоги; • зафіксуйте точку нитки коли грузик опуститься до підлоги (наприклад, зав'яжіть вузлик); • виміряйте відстань між відміткою і кінцем нитки з вантажем.
4
Якщо площині задані аналітичними рівняннями, то знайдіть відстань між ними таким чином: • нехай А1 * х + В1 * у + С1 * z + D1 = 0 і А2 * х + В2 * у + С2 * z + D2 = 0 - рівняння площин у просторі; • так як для паралельних площин множники при координатах рівні, то перепишіть ці рівняння в наступному вигляді: А * х + В * у + С * z + D1 = 0 і А * х + В * у + С * z + D2 = 0; • скористайтеся наступною формулою для знаходження відстані між цими паралельними площинами: s = | D2-D1 |/? (A? + B? + C?), де: || - стандартне позначення модуля (абсолютного значення) вираження.
5
Приклад: Визначте відстань між паралельними площинами, заданими рівняннями: 6х + 6У-3z + 10 = 0 і 6х + 6У-3z + 28 = 0. Рішення: Підставте параметри з рівнянь для площин у вищенаведену формулу. Вийде: s = | 28-10 |/? (6? +6? + (- 3)?) = 18/? 81 = 18/9 = 2.Ответ: Відстань між паралельними площинами - 2 (одиниці виміру).