Як визначити кут між двома прямими.

Пряма в просторі задається канонічним рівнянням, що містить координати її напрямних векторів. Виходячи з цього, визначити кут між прямими можна за формулою косинуса кута, утвореного векторами.
Інструкція
1
Визначити кут між двома прямими в просторі можна, навіть якщо вони не перетинаються. У цьому випадку потрібно подумки поєднати початку їх напрямних векторів і обчислити величину отриманого кута. Іншими словами, це будь-який з суміжних кутів, утворених перехресними прямими, проведеними паралельно даними.
2
Існує кілька способів завдання прямої в просторі, наприклад, векторно-параметричний, параметричний і канонічний. Три згаданих методу зручно використовувати при знаходженні кута, тому всі вони припускають введення координат направляючих векторів. Знаючи ці величини, можна визначити освічена кут по теоремі косинусів з векторної алгебри.
3
Припустимо, дві прямі L1 і L2 задані канонічними рівняннями: L1: (x - x1)/k1 = (y - y1)/l1 = (z - z1)/n1; L2: (x - x2)/k2 = (y - y2)/l2 = (z - z2)/n2.
4
Використовуючи величини ki, li і ni, запишіть координати напрямних векторів прямих. Назвіть їх N1 і N2: N1 = (k1, l1, n1); N2 = (k2, l2, n2).
5
Формула для косинуса кута між векторами являє собою співвідношення між їх скалярним твором і результатом арифметичного множення їх довжин (модулів).
6
Визначте скалярний добуток векторів як суму добутків їх абсцис, ординат і аплікат: N1 • N2 = k1 • k2 + l1 • l2 + n1 • n2.
7
Обчисліть квадратні корені із сум квадратів координат, щоб визначити модулі напрямних векторів: | N1 | =? (K1? + L1? + N1?); | N2 | =? (K2? + L2? + N2?) .
8
Використовуйте всі отримані вирази, щоб записати загальну формулу косинуса кута N1N2: cos (N1N2) = (k1 • k2 + l1 • l2 + n1 • n2)/(? (K1? + L1? + N1?) • ? (k2? + l2? + n2?)). Щоб знайти величину самого кута, порахуйте arccos від цього виразу.
9
Приклад: визначити кут між заданими прямими: L1: (x - 4)/1 = (y + 1)/(- 4) = z/1; L2: x/2 = (y - 3)/(- 2) = (z + 4)/(- 1).
10
Рішення: N1 = (1, -4, 1); N2 = (2, -2, -1) .N1 • N2 = 2 + 8 - 1 = 9; | N1 | • | N2 | = 9 •? 2.cos (N1N2) = 1/? 2? N1N2 =?/4.
Пряма - одне з основних понять геометрії. Вона задається на площині рівнянням типу Ax + By = C. Число, рівне A/B, так само тангенсу кута нахилу прямої або, як його ще називають, кутовому коефіцієнту прямої.
Вам знадобиться
  • Знання з геометрії.
Інструкція
1
Нехай дано дві прямі з рівняннями Ax + By = C і Dx + Ey = F. Висловимо з цих рівнянь прямих коефіцієнт кута нахилу. Для першої прямої цей коефіцієнт дорівнює A/B, а для другої D/E відповідно. Для наочності розглянемо приклад. Рівняння першої прямої 4x + 6y = 20, рівняння другий прямий -3x + 5y = 3. Коефіцієнти кута нахилу будуть відповідно рівні: 0.67 і -0.6.
2
Тепер необхідно знайти кут нахилу кожної прямій. Для цього порахуємо арктангенс від кутового коефіцієнта. У розглянутому прикладі кути нахилу прямих будуть рівні arctg (0.67) = 34 градуси і arctg (-0.6) = -31 градус соотвественно.
3
Так одна пряма вміє негативний кутовий коефіцієнт, а друга позитивний, то кут між цими прямими буде дорівнює сумі абсолютних величин цих кутів. У разі ж, коли кутові коефіцієнти обидва негативні або обидва позитивні, то кут знаходиться шляхом вирахування з більшого кута меншого. У розглянутому прикладі отримаємо, що кут між прямими дорівнює | 34 | + | -31 | = 34 + 31 = 65 градусів.
Зверніть увагу
Період тригонометричної функції тангенс дорівнює 180 градусам, а значить кути нахили прямих не можуть, по модулю, перевищувати цього значення.
Корисна порада
Якщо кутові коефіцієнти рівні між собою, то кут між такими прямими дорівнює 0, тому що такі прямі або збігаються або паралельні.