Як знайти точки перегину функції.

Щоб знайти точки перегину функції , потрібно визначити, в яких місцях її графік змінює опуклість на увігнутість і навпаки. Алгоритм пошуку пов'язаний з обчисленням другої похідної і аналізом її поведінки в околиці деякої точки .
Інструкція
1
Точки перегину функції повинні належати області її визначення, яку потрібно знайти в першу чергу. Графік функції - це лінія, яка може бути безперервною або мати розриви, монотонно спадати або зростати, мати мінімальні або максимальні точки (асимптоти), бути опуклою або увігнутою. Різка зміна двох останніх станів і називається перегином.
2
Необхідна умова існування точок перегину функції полягає в рівності другої похідної нулю. Таким чином, двічі продифференцировав функцію і прирівнявши вийшло вираз нулю, можна знайти абсциси можливих точок перегину.
3
Ця умова випливає з визначення властивостей опуклості і угнутості графіка функції , тобто негативного і позитивного значенню другої похідної. У точці перегину відбувається різка зміна цих властивостей, значить, похідна переходить нульову позначку. Однак рівності нулю ще недостатньо для того, щоб позначити перегин.
4
Існує два достатніх ознаки того, що знайдена на попередньому етапі абсциса належить точці перегину: Через цю точку можна провести дотичну до графіка функції . Друга похідна має різні знаки справа і зліва від передбачуваної точки перегину. Таким чином, її існування в самій точці необов'язково, достатньо визначити, що в ній вона змінює знак.Вторая похідна функції дорівнює нулю, а третя - ні.
5
Перше достатня умова є універсальним і застосовується частіше інших. Розглянемо який ілюструє приклад: у = (3 • х + 3) •? (Х - 5).
6
Решеніе.Найдіте область визначення. В даному випадку обмежень немає, отже, нею є все простір дійсних чисел. Обчисліть першу похідну: у '= 3 •? (Х - 5) + (3 • х + 3)/? (Х - 5)?.
7
Зверніть увагу на появу дроби. З нього випливає, що область визначення похідної обмежена. Точка х = 5 є виколоти, а значить, через неї може проходити дотична, що почасти відповідає першому ознакою достатності перегину.
8
Визначте односторонні межі для отриманого виразу при х? 5 - 0 і х? 5 + 0. Вони рівні -? і + ?. Ви довели, що через точку х = 5 проходить вертикальна дотична. Ця точка може виявитися точкою перегину, але спочатку обчисліть другу похідну: У '' = 1/? (Х - 5)? + 3/? (Х - 5)? - 2/3 • (3 • х + 3)/? (Х - 5) ^ 5 = (2 • х - 22)/? (Х - 5) ^ 5.
9
Опустіть знаменник, оскільки точку х = 5 ви вже врахували. Вирішіть рівняння 2 • х - 22 = 0. Воно має єдиний корінь х = 11.Последній етап - підтвердження того, що точки х = 5 і х = 11 є точками перегину . Проаналізуйте поведінку другої похідної в їх околицях. Очевидно, що в точці х = 5 вона змінює знак з «+» на «-», а в точці х = 11 - навпаки. Висновок: обидві точки є точками перегину. Виконано перше достатня умова.