Як знайти похідну функції.

Методи диференціального обчислення використовуються при дослідженні характеру поведінки функції в математичному аналізі. Однак це не єдина сфера їх застосування, часто потрібно знайти похідну, щоб розрахувати граничні величини в економіці, обчислити швидкість або прискорення у фізиці.
Інструкція
1
Похідна функції в точці показує швидкість її зміни і обчислюється через теорію меж. Тому вона може мати як кінцеве, так і нескінченне значення. У другому випадку говорять, що вихідна функції не дифференцируема в цій точці. Існують правила, за якими можна знайти похідну найпростішої, елементарної і складною функції .
2
Запам'ятайте таблицю обчислення похідних найпростіших і деяких елементарних функцій: - З '= 0; - х' = 1; - (С • х) '= С • х' = С; - (sin х) '= соs х; (Соs х) '= - sin х; - (tv х)' = 1/соs? х; (Сtv х) '= -1/sin? х; - b ^ х = b ^ х • ln b; - lоv_b х = 1/(х • ln b).
3
Застосовуйте загальні правила діфференцірованія.Проізводная статечної функції виду х ^ n, де n> 1, дорівнює n • х ^ (n-1). Приклади: (х ^ 4) '= 4 • х ?; (5 • х?) '= 5 • 3 • х? = 15 • х?.
4
Похідна суми функцій знаходиться шляхом складання їх окремих похідних: (? Fi (х)) '=? Fi' (х). Приклади: (sin х + соs х) '= соs х - sin х; (Х ^ 5 + 6 • х ^ 4 - 2 • х? + 14 • х) '= 5 • х ^ 4 + 24 • х? - 4 • х + 14. При диференціюванні многочлена його ступінь зменшується на 1.
5
Похідна твори, де обидва множники є функціями, дорівнює сумі двох елементів. У першому випадку це похідна першої функції і вихідне вираз другий, у другому випадку - навпаки: (f • v) '= f' • v + f • v'.Прімер: (5 ^ х • lоv_5 х) '= (5 ^ х)' • lоv_5 х + 5 ^ х • (lоv_5 х) '= 5 • х • ln 5 • lоv_5 х + 5 ^ х/(х • ln 5).
6
Дріб, де чисельник і знаменник - функції , диференціюється за більш складною формулою: (f/v) '= (f' • v - f • v ')/v ?. Приклад: ((х • sin х)/(5 • х? + 3)) '. Решеніе.К цьому виразу застосовні відразу два правила диференціювання: суми і добутку функцій одного і того ж аргументу: ((х • sin х)/(5 • х? + 3)) '= ((х • sin х)' • (5 • х? + 3) - х • sin х • (5 • х? + 3) ')/(5 • х? + 3)? = ((Sin х + х • соs х) • (5 • х? + 3) - х • sin х • 10 • х)/(5 • х? + 3)?.
7
Розкрийте дужки і приведіть подібні: х • соs х - х • sin х • (5 • х - 3)/(5 • х? + 3)?.
8
Щоб знайти похідну складної функції виду f (v (х)), продіфференціруйте старшу функцію f, прийнявши v за простий аргумент. Потім помножте результат на похідну v '(х). Наприклад: (tv (2 • х? + 3)) '= (tv х)' • (2 • х? + 3) '= 1/соs? (2 • х? + 3) • 4 • х = 4 • х/соs? (2 • х? + 3).