Як знайти відстань від точки до прямої в просторі.

В аналітичної геометрії положення безлічі точок, що належать прямій лінії в просторі, описується рівнянням. Для будь-якої точки простору щодо цієї лінії можна визначити параметр, який називається відхиленням. Якщо він дорівнює нулю, значить, точка лежить на лінії, а будь-яке інше значення відхилення, взяте по модулю, визначає найкоротша відстань між прямою і точкою. Розрахувати його можна, якщо відомо рівняння лінії і координати точки.
Інструкція
1
Для вирішення завдання в загальному вигляді позначте координати точки як A? (X?; Y?; Z?), Координати найближчої до неї точки на розглянутій прямій - як A? (X?; Y?; Z?) , а рівняння прямої запишіть у такому вигляді: a * X + b * Y + c * Z - d = 0. Вам потрібно визначити довжину відрізка A? A ?, який лежить на лінії, перпендикулярній по відношенню до описуваної рівнянням. Перпендикулярний («нормальний») спрямовує вектор? = {A; b; c} допоможе скласти канонічні рівняння проходить через точки A? і A? прямий: (XX?)/a = (YY?)/b = (ZZ?)/c.
2
Запишіть канонічні рівняння в параметричній формі (X = a * t + X ?, Y = b * t + Y? І Z = c * t + Z?) І знайдіть значення параметра t ?, при якому вихідна і перпендикулярна до неї прямі перетинаються. Для цього підставте параметричні вираження в рівняння вихідної прямої: a * (a * t? + X?) + B * (b * t? + Y?) + C * (c * t? + Z?) - D = 0. Потім висловіть з рівності параметр t ?: t? = (D - a * X? - B * Y? - C * Z?)/(A? + B? + C?).
3
Підставте отримане на попередньому кроці значення t? в визначальні координати точки A? параметричні рівняння: X? = A * t? + X? = A * ((d - a * X? - B * Y? - C * Z?)/(A? + B? + C?)) + X ?, Y? = B * t? + Y? = B * ((d - a * X? - B * Y? - C * Z?)/(A? + B? + C?)) + Y? і Z? = C * t? + Z? = C * ((d - a * X? - B * Y? - C * Z?)/(A? + B? + C?)) + Z ?. Тепер у вас є координати двох точок, залишилося розрахувати визначається ними відстань (L).
4
Для отримання чисельного значення відстані між точкою з відомими координатами і прямої, що задається відомим рівнянням, розрахуйте чисельні значення координат точки A? (X?; Y?; Z?) За формулами з попереднього кроку і підставте значення в цю формулу : L = (a * (X? - X?) + b * (Y? - Y?) + c * (Z? - Z?))/(a? + b? + c?) Якщо ж і результат треба отримати в загальному вигляді, він буде описуватися досить громіздким рівнянням. Замініть величини проекцій точки A? на три координатні осі равенствами з попереднього кроку і спростите наскільки можливо отримане рівність: L = (a * (X? - X?) + b * (Y? - Y?) + c * (Z? - Z?))/( a? + b? + c?) = (a * (X? - a * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?)/(a? + b? + c?)) + X?) + b * (Y? - b * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?)/(a? + b? + c?)) + Y?) + c * (Z? - c * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?))/(a? + b? + c?) = (a * (2 * X? - a * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?)/(a? + b? + c?))) + b * (2 * Y? - b * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?)/(a? + b? + c?))) + c * (2 * Z? - c * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?)/(a? + b? + c?))))/(a? + b? + c) = (2 * a * X? - a? * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?)/(a? + b? + c?)) + 2 * b * Y? - b? * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?)/(a? + b? + c?)) + 2 * c * Z? - c? * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?)/(a? + b? + c?)))/(a? + b? + c?)
5
Якщо значення має тільки чисельний результат, а хід рішення задачі не важливий, скористайтеся онлайн-калькулятором, який призначений саме для розрахунку відстані між точкою і прямою в ортогональній системі координат тривимірного простору - http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/cartesian_coordinate/p_line. Тут ви можете помістити у відповідні поля координати точки, ввести рівняння прямої в параметричному або канонічному вигляді, а потім отримати відповідь, клацнувши по кнопці «Знайти відстань від точки до прямої».