Як визначити тип кривої другого порядку.

Відповідь дуже проста. Перетворіть загальне рівняння кривої другого порядку до канонічного виду. Шуканих кривих всього три, і це еліпс, гіпербола і парабола. Вид відповідних рівнянь можна побачити в додаткових джерелах. Там же можна переконатися, що повну процедуру приведення до канонічного вигляду слід всіляко уникати в силу її громіздкості.
Інструкція
1
Питання про з'ясування виду кривої другого порядку - скоріше якісна, ніж кількісне завдання. У самій загальній випадку рішення може починатися з заданого рівняння лінії другого порядку (див. Рис. 1). В цьому рівнянні всі коефіцієнти - деякі постійні числа. Якщо забули рівняння еліпса, гіперболи і параболи в канонічному вигляді, подивіться їх в додаткових джерелах до цієї статті або будь-якому підручнику.
2
Порівняйте загальне рівняння з кожним з тих канонічних. Неважко дійти висновку, що якщо коефіцієнти A? 0, С? 0, і їх знак однаковий, то після будь-якого перетворення, що приводить до канонічного виду, буде отриманий еліпс. Якщо знак є різним - гіпербола. Парабола же буде відповідати ситуації, коли коефіцієнти або А або С (але не обидва відразу) дорівнюють нулю. Таким чином, відповідь отримана. Тільки от числових характеристик немає, крім тих коефіцієнтів, що маються на конкретному умові завдання.
3
Є ще один спосіб отримання відповіді на поставлене запитання. Це застосування загального полярного рівняння кривих другого порядку. Це означає, що в полярних координатах все три, укладаються в канон криві (для декартових координат) записуються практично одним і тим же рівнянням. І хоча це в канон і не вкладається - тут можливо список кривих другого порядку розширювати необмежено (апліката Бернуллі, фігура Ліссажу і т. Д.).
4
Обмежимося еліпсом (в основному) і гіперболою. Парабола виникне автоматично, як випадок проміжний. Справа в тому, що спочатку еліпс визначався як геометричне місце точок, для яких сума фокальних радіусів r1 + r2 = 2a = const. Для гіперболи | r1-r2 | = 2a = const. Покладіть фокуси еліпса (гіперболи) F1 (-c, 0), F2 (c, 0). Тоді фокальні радіуси еліпса рівні (див. Рис. 2а). Для правої гілки гіперболи дивіться рисунок 2b.
5
Полярні координати? =? (?) Слід вводити, використовуючи фокус, як полярний центр. Тоді можна покласти? = R2 і після незначних перетворень отримаєте для правих ділянок еліпса і параболи полярні рівняння (див. Рис. 3). При цьому а - велика піввісь еліпса (мнима для гіперболи), с - абсциса фокуса, про параметр b - на малюнку.
6
Наведена на формулах малюнка 2 величина? називається ексцентриситетом. З формул малюнка 3 випливає, що всі інші величини з нею як-небудь пов'язані. І дійсно, оскільки? пов'язана з усіма головними кривими другого порядку, то на її основі і можна приймати основні рішення. А саме, якщо? 1 - гіпербола. ? = 1 - парабола. Це має і більш глибокий зміст. В куди як вкрай складному курсі «Рівняння математичної фізики» класифікація диференціальних рівнянь з приватними похідними виробляється на цій же основі.
Крива другого порядку - це геометричне місце точок, що задовольняють рівнянню ax? + Fy? + 2bxy + 2cx + 2gy + k = 0, в якому x, y змінні, a, b, c, f, g, k - коефіцієнти, і a? + b? + c? відмінно від нуля.
Інструкція
1
Наведіть рівняння кривої до канонічності увазі. Розгляньте канонічний вигляд рівняння для різних кривих другого порядку: парабола y? = 2px; гіпербола x?/q? -y?/h? = 1; еліпс x?/q? + y?/h? = 1; дві пересічні прямі x?/q? -y?/h? = 0; точка x?/q? + y?/h? = 0; дві паралельні прямі x?/q? = 1, одна пряма x? = 0; вдаваний еліпс x?/q? + y?/h? = - 1.
2
Обчисліть інваріанти:?, D, S, B. Для кривої другого порядку? визначає, чи є крива істинної - невиродженої або граничним випадком однією із справжніх - виродженої. D визначає симетрію кривої.
3
Визначте, чи є крива виродженої. Обчисліть?. ? = Afk-agg-bbk + bgc + cbg-cfc. Якщо? = 0, то крива вироджена, якщо? не нульовий, то невироджена.
4
З'ясуйте характер симетрії кривої. Обчисліть D. D = a * f-b ?. Якщо він не дорівнює нулю, то крива має центр симетрії, якщо дорівнює, то, відповідно, не має.
5
Обчисліть S і B. S = a + f. Інваріант В дорівнює сумі двох квадратних матриць: перша зі стовпцями a, c і c, k, друга зі стовпцями f, g і g, k.
6
Визначте тип кривої. Розгляньте вироджені криві, коли? = 0. Якщо D> 0, то це точка. Якщо D
7
Розгляньте невироджені криві - це еліпс, гіпербола і парабола. Якщо D = 0, то це парабола, її рівняння y? = 2px, де p> 0. Якщо D0. Якщо D> 0, а S0, h> 0. Якщо D> 0, а S> 0, то це вдаваний еліпс - немає жодної точки на площині.
8
Виберіть тип кривої другого порядку, який вам підходить. Наведіть вихідне рівняння, якщо потрібно, до канонічного виду.
9
Розгляньте для прикладу рівняння y? -6x = 0. Отримайте коефіцієнти, виходячи з рівняння ax? + Fy? + 2bxy + 2cx + 2gy + k = 0. Коефіцієнти f = 1, c = 3, а інші коефіцієнти a, b, g, k дорівнюють нулю.
10
Обчисліть величини? і D. Отримайте? = - 3 * 1 * 3 = -9, а D = 0. Це значить, що крива невироджена, так як? не дорівнює нулю. Оскільки D = 0, то крива не має центру симетрії. За сукупністю ознак, рівняння є параболою. y? = 6x.