Як знайти вектор, перпендикулярний даному.

В геометрії вектор визначається як впорядкована пара точок, одну з яких вважають його початком, іншу - кінцем. У нарисної геометрії побудувати вектор, перпендикулярний заданому, можна за допомогою транспортира відмірявши потрібний кут і накресливши відповідний відрізок. У аналітичної геометрії для обчислення координат такого спрямованого відрізка доведеться задіяти правила скалярних операцій з векторами.
Інструкція
1
Якщо вихідний вектор зображений на кресленні в прямокутній двомірної системі координат і перпендикулярний йому потрібно побудувати там же, виходите з визначення перпендикулярності векторів на площині. Воно свідчить, що кут між такою парою спрямованих відрізків повинен бути рівний 90 °. Таких векторів можна побудувати безліч. Тому накресліть в будь-якому зручному місці площині перпендикуляр до вихідного вектору, відкладіть на ньому відрізок, рівний довжині заданої впорядкованої пари точок і призначте один з його кінців початком перпендикулярного вектора. Зробіть це за допомогою транспортира і лінійки.
2
Якщо ж вихідний вектор заданий двомірними координатами? = (X?; Y?), Виходите з того, що скалярний твір пари перпендикулярних векторів має дорівнювати нулю. Це означає, що вам треба підібрати для шуканого вектора? = (X?, Y?) Такі координати, при яких буде виконуватися рівність (?,?) = X? * X? + Y? * Y? = 0. Це можна зробити так: виберіть будь-яке ненульове значення для координати X ?, а координату Y? розрахуйте за формулою Y? = - (X? * X?)/Y ?. Наприклад, для вектора? = (15; 5) перпендикулярним буде вектор?, З абсцисою, що дорівнює одиниці, і ординатою, рівною - (15 * 1)/5 = -3, тобто ? = (1; -3).
3
Для тривимірної і будь-який інший ортогональної системи координат вірно те ж саме необхідна і достатня умова перпендикулярності векторів - їх скалярний добуток має дорівнювати нулю. Тому, якщо вихідний спрямований відрізок заданий координатами? = (X?, Y?, Z?), Підберіть для перпендикулярній йому впорядкованої пари точок? = (X?, Y?, Z?) Такі координати, при яких виконується умова (?,?) = X? * X? + Y? * Y? + Z? * Z? = 0. Найпростіше привласнити координатам X? і Y? поодинокі значення, а Z? розрахувати з спростить рівності Z? = -1 * (X? * 1 + Y? * 1)/Z? = - (X? + Y?)/Z ?. Наприклад, для вектора? = (3,5,4) ця формула набуде такого вигляду: (?,?) = 3 * X? + 5 * Y? + 4 * Z? = 0. Тоді абсциссу і ординату перпендикулярного вектора прийміть за одиницю, а аппликата в цьому випадку буде дорівнює - (3 + 5)/4 = -2.
перпендикулярно називаються вектора , кут між якими становить 90 ?. Перпендикулярні вектора будуються за допомогою креслярських інструментів. Якщо відомі їх координати, то перевірити чи знайти перпендикулярність векторів можна аналітичними методами.
Вам знадобиться
  • - транспортир;
  • - циркуль;
  • - лінійка.
Інструкція
1
Побудуйте вектор перпендикулярний даному. Для цього в точці, яка є початком вектора, відновіть до нього перпендикуляр. Це можна зробити за допомогою транспортира, відклавши кут 90 ?. Якщо транспортира немає, зробіть це циркулем.
2
Встановіть його в точку початку вектора. Проведіть окружність довільним радіусом. Потім побудуйте дві окружності з центрами в точках, де перша окружність перетнула пряму, на якій лежить вектор. Радіуси цих кіл повинні бути рівні між собою і більше радіуса першої побудованої окружності. На точках перетину кіл побудуйте пряму, яка буде перпендикулярна вихідного вектору в точці його початку, і відкладіть на ній вектор, перпендикулярний даному.
3
Визначте перпендикулярність двох довільних векторів. Для цього за допомогою паралельного перенесення побудуйте їх так, щоб вони виходили з однієї точки. Виміряйте кут між ними, за допомогою транспортира. Якщо він дорівнює 90 ?, то вектора перпендикулярні.
4
Знайдіть вектор, перпендикулярний тому, координати якого відомі і рівні (x; y). Для цього знайдіть таку пару чисел (x1; y1), яка задовольняла б рівності x • x1 + y • y1 = 0. У цьому випадку вектор з координатами (x1; y1) буде перпендикулярний вектору з координатами (x; y).
5
ПрімерНайдіте вектор, перпендикулярний вектору з координатами (3, 4). Використовуйте властивість перпендикулярних векторів. Підставивши в нього координати вектора, отримаєте вираз 3 • x1 + 4 • y1 = 0. Підберіть пари чисел, які роблять це тотожність вірним. Наприклад, пара чисел x1 = -4; y1 = 3 робить тотожність вірним. Значить, вектор з координатами (-4; 3) буде перпендикулярний даному. Таких пар чисел можна підібрати безліч, а тому і векторів теж нескінченно багато.
6
Перевіряйте перпендикулярність векторів за допомогою тотожності x • x1 + y • y1 = 0, де (x; y) і (x1; y1) координати двох векторів. Наприклад, вектора з координатами (3; 1) і (-3; 9) перпендикулярні, так як 3 • (-3) + 1 • 9 = 0.