Як знайти базис системи векторів.

Будь упорядкована сукупність n лінійно незалежних векторів e ?, e ?, ..., en лінійного простору Х розмірності n називається базисом цього простору. У просторі R? базис утворюють, наприклад, вектори І, j k. Якщо x ?, x ?, ..., xn - елементи лінійного простору, то вираз x? + X? + ... +? Nxn називається лінійною комбінацією цих елементів.
Інструкція
1
Відповідь на питання про вибір базису лінійного простору можна подивитися в першому наведеному джерелі додаткових відомостей. В першу чергу слід запам'ятати, що універсальної відповіді немає. Систему векторів можна підібрати і потім довести, що вона придатна до використання в якості базису. Алгоритмічно цього зробити не можна. Тому найвідоміші базиси з'являлися в науці не настільки часто.
2
Довільний лінійний простір не так багато властивостями, як простір R ?. Крім операцій додавання векторів і множення вектора на число в R? можна проводити вимірювання довжин векторів, кутів між ними, а також обчислювати відстані між об'єктами простору, площі, об'єми. Якщо на довільне лінійне простір накласти додаткову структуру (x, y) = x? Y? + X? Y? + ... + Xnyn, яка називається скалярним добутком векторів x і у, то воно називатиметься евклідовим (Е). Саме такі простору і являють практичну цінність.
3
Рухаючись аналогій простору Е ?, вводиться поняття ортогональності в довільному по розмірності базисі. Якщо скалярний добуток векторів х і у (х, у) = 0, то ці вектори ортогональні. В С [a, b] (так позначається простір неперервних на [a, b] функцій) скалярний добуток функцій обчислюється за допомогою визначеного інтеграла від їх твори. Пі цьому функції ортогональні на [a, b], якщо? [A, b]? І (t)? Ј (t) dt = 0, i? J (формула дубльована на рис. 1а). Ортогональна система векторів є лінійно незалежною.
4
Введені в розгляд функції призводять до лінійних функціональним просторам. Вважайте їх ортогональними. У загальному випадку такі простору є нескінченновимірними. Розгляньте розкладання по ортогональному базису e? (T), e? (T), e? (T), ... вектора (функції) х (t) евклидова функціонального простору (див. Рис. 1b). Для знаходження коефіцієнтів? (Координат вектора х), обидві частини першої на рис. 1b формули були скалярно помножені на вектор е ?. Вони називаються коефіцієнтами Фур'є. Якщо остаточну відповідь представити у вигляді виразу, наведеного на рис. 1в, то вийде функціональний ряд Фур'є за системою ортогональних функцій.
5
Розгляньте систему тригонометричних функцій 1, sint, cost, sin2t, cos2t, ..., sinnt, cosnt, ... Переконайтеся в тому, що ця система ортогональна на [- ?,?]. Це можна зробити простий перевіркою. Тому в просторі C [- ?,?] Тригонометрическая система функцій є ортогональним базисом. Тригонометричний ряд Фур'є складає основу теорії спектрів радіотехнічних сигналів.
Базисом системи векторів називають упорядковану сукупність лінійно незалежних векторів e ?, e ?, ..., en лінійної системи X розмірності n. Універсального рішення задачі по знаходженню базису конкретної системи не існує. Можна спочатку обчислити його, а потім довести існування.
Вам знадобиться
  • папір, ручка
Інструкція
1
Вибір базису лінійного простору можна здійснити за допомогою другої посилання, наведеною після статті. Шукати універсальну відповідь не варто. Підберіть систему векторів, а потім приведіть доказ її придатності в якості базису. Чи не пробуйте робити це алгоритмічно, в даному випадку треба йти іншим шляхом.
2
Довільний лінійний простір, у порівнянні з простором R ?, не багато властивостями. Проведіть додавання множення вектора на число R ?. Можна піти таким шляхом. Виміряйте довжини векторів і кути між ними. Обчисліть величину площі, обсяги і відстань між об'єктами простору. Потім виконайте наступні маніпуляції. Накладіть на довільне простір склярное добуток векторів x і у ((x, y) = x? Y? + X? Y? + ... + Xnyn). Тепер його можна назвати Евклідовому. Воно становить величезну практичну цінність.
3
У довільному по розмірності базисі введіть поняття ортогональності. Якщо склярное добуток векторів x і y дорівнює нулю, значить вони ортогональні. Така система векторів є лінійно незалежною.
4
Ортогональні функції в загальному випадку є нескінченновимірними. Попрацюйте з Евклідовому функціональним простором. Розкладіть по ортогональному базису e? (T), e? (T), e? (T), ... вектора (функції) х (t). Уважно вивчіть результат. Знайдіть коефіцієнт? (Координат вектора х). Для цього коефіцієнт Фур'є помножте на вектор е? (Див. Малюнок). Отриману в результаті обчислень формулу можна назвати функціональним рядом Фур'є за системою ортогональних функцій.
5
Вивчіть систему функцій 1, sint, cost, sin2t, cos2t, ..., sinnt, cosnt, .... Визначте ортогональна вона на на на [- ?,?]. Виконайте перевірку. Для цього обчисліть склярние твори векторів. Якщо результат перевірки доводить ортогональность цієї тригонометричної системи, то вона є базисом у просторі C [- ?,?].
Зверніть увагу
В С [a, b] (так позначається простір неперервних на [a, b] функцій) скалярний добуток функцій обчислюється за допомогою визначеного інтеграла від їх твори. Пі цьому функції ортогональні на [a, b], якщо? [A, b]? І (t)? Ј (t) dt = 0, i? J
Корисна порада
Система тригонометричних функцій повинна бути ортогональна тільки саме [- ?,?].