Як знайти центр маси тіла.

Точку, в якій перетинаються лінії дії сил, що викликають поступальний рух тіла, називають його центром мас. Необхідність розрахунку центру мас може виникнути як при вирішенні теоретичних, так і практичних завдань.
Вам знадобиться
  • - формула розрахунку центру мас.
Інструкція
1
Слід враховувати, що положення центру мас безпосередньо залежить від того, яким чином розподілена за обсягом тіла його маса. Центр мас може навіть не перебувати в самому тілі, прикладом такого об'єкта може служити однорідне кільце, у якого центр мас знаходиться в його геометричному центрі. Тобто - в порожнечі. При розрахунках центр мас можна розцінювати математичної точкою, в якій зосереджена вся маса тіла.
2
Поняття центру мас і центру тяжіння тіла дуже близькі, тому при розрахунках, в більшості випадків, їх можна вважати синонімами. Відмінність лише в тому, що для поняття центра ваги необхідна наявність тяжіння, а центр мас присутній і при відсутності сили тяжіння. Тіло, падаюче вільно і без обертання, рухається під дією сили тяжіння, прикладеної до всіх його точках, при цьому його центр мас збігається з центром ваги. Для визначення центру мас в класичній механіці використовується наведена нижче формула.
3
Тут R.ц.м. - Радіус-вектор центру мас, mi - маса i-тої точки, ri - радіус-вектор i-тієї точки системи. На практиці в багатьох випадках легко знайти центр мас, якщо предмет має якусь строгу геометричну форму. Наприклад, у однорідного стержня він знаходиться точно посередині. У паралелограма - на перетині діагоналей, у трикутника це точка перетину медіан, а у правильного багатокутника центр мас знаходиться в центрі поворотною симетрії.
4
Для більш складних тіл завдання розрахунку ускладнюється, в цьому випадку необхідно розбити об'єкт на однорідні обсяги. Для кожного з них окремо вираховуються центри мас, після чого знайдені значення підставляються у відповідні формули і знаходиться підсумкове значення.
5
На практиці необхідність визначення центру мас (центра ваги) зазвичай пов'язана з конструкторськими роботами. Наприклад, при проектуванні судна важливо забезпечити його остійність. Якщо центр ваги буде знаходитися дуже високо, то судно може перекинутися. Як розрахувати потрібний параметр для такого складного об'єкта, як судно? Для цього знаходяться центри тяжкості його окремих елементів і агрегатів, після чого знайдені значення складаються з урахуванням їх місця розташування. При конструюванні центр ваги зазвичай намагаються розташувати якомога нижче, тому найбільш важкі агрегати розташовують у самому низу.
Центр мас - найважливіша геометрична і технічна характеристика тіла. Без обчислення його координат неможливо уявити конструювання в машинобудуванні, рішення задач будівництва та архітектури. Точне визначення координат центру маси проводиться за допомогою інтегрального числення.
Інструкція
1
Починати завжди слід від простого, поступово переходячи до більш складних ситуацій. Виходите з того, що визначення підлягає центр маси безперервної плоскої фігури D, щільність якої? постійна і рівномірно розподілена в її межах. Аргумент х змінюється від а до b, y від c до d. Розбийте фігуру сіткою вертикальних (x = x (i-1), x = xi (i = 1,2, ..., n)) і горизонтальних прямих (y = y (j-1), y = xj (j = 1, 2 ..., m)) на елементарні прямокутники з підставами? хi = xi-x (i-1) і висотами? yj = yj-y (j-1) (див. рис. 1). При цьому середину елементарного відрізка? Хi знайдіть як? I = (1/2) [xi + x (i-1)], а висоту? Yj як? J = (1/2) [yj + y (j-1) ]. Оскільки щільність розподіляється рівномірно, то центр маси елементарного прямокутника співпаде з її геометричним центром. Тобто Хцi =? I, Yцi =? J.
2
Масу М плоскої фігури (якщо вона невідома), обчисліть як добуток щільності на площу. Замініть елементарну площу на ds =? Хi? Yj = dxdy. Уявіть? Mij у вигляді dM =? DS =? Dxdy і отримаєте її масу за формулою, наведеною на малюнку. 2a. При малих збільшеннях вважайте, що маса? Mij, зосереджена в матеріальній точці з координатами Хцi =? I, Yцi =? J. Із завдань механіки відомо, що кожна координата центру мас системи матеріальних точок дорівнює дробу, чисельник якої містить суму статичних моментів мас m? щодо відповідної осі, а знаменник дорівнює сумі цих мас. Статичний момент маси m ?, щодо осі 0х дорівнює у? * M ?, а щодо 0у х? * M?.
3
Застосуйте це правило до ситуації, що розглядається і отримаєте приблизні значення статичних моментів Јх і Ју у вигляді Ју? { ? X y?}, Јх? { ? X y? } (підсумовування вироблялося по? від 1 до N). Вхідні останнім вираження суми є інтегральними. Перейдіть до меж від них при? Х 0? Y 0 і запишіть остаточні формули (див. Рис. 2b). Координати центру мас знаходите діленням відповідного статистичного моменту на загальну масу фігури М.
4
Методологія отримання координат центру мас просторової фігури G відрізняється лише тим, що виникають потрійні інтеграли, а статичні моменти розглядаються щодо координатних площин. Не слід забувати і що щільність не обов'язково постійна, то є? (X, y, z)? Const. Тому остаточний і самй загальна відповідь має вигляд (див. Рис. 3).